אינטגרבליות
מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על ).
(1)
נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
- אינטגרבליות לפי דרבו
- אינטגרבליות לפי רימן
היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
אינטגרבליות לפי דרבו
תהי T חלוקה. נסמן ו-
. נגדיר
וכן
.
חלוקה
חלוקה
דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה מתחילה בקטע
. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
פתרון:
דרך 1: חישוב ע"י משולש.
דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות . ז"א
.
- רוחב המלבן
- אורך המלבן
(נשים לב כי פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
...
אם נראה כי נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
עבור נרשום:
...
באופן דומה
מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא .
הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה
יש טעות, היא תתוקן בהמשך.
דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום ומעל לקטע
כאשר
פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
פתרון: תזכורת: חייבים בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
נחלק את הקטע , נבחר חלוקה המקיימת
. (לדוגמה: בחרנו חלוקה
.
כאשר מתקיים
). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
דוגמה 3: הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-
אז f אינטגרבילית ב-
.
פתרון: הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה . ברור כי
אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.
הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.
הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.
דוגמה 4: הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- ולכל
f אינטגרבילית ב-
אז f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה: רוצים להראות כי לכל יש חלוקה
המקיימת ב-
ש-
. נתון כי f אינטגרבילית ב-
ולכן יש חלוקה
שם מתקיים
. נשים לב כי
. נסמן
ו-
.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. ובאופן דומה:
.
...
דוגמה 5: חשב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracnn לא מוכרת): \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)
פתרון: נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה בקטע
.
פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:
. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן
.
לפי המשפט היסודי זה שווה ל- (הפונקציה הקדומה של
היא
).
משפט: תנאי הכרחי שפונקציה תהיה אינטגרבילית ב-
הוא ש-f חסומה בקטע.
משפט:' אם f חסומה בקטע ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-
.
דוגמה 6: קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.
-
בקטע
- פתרון: נראה כי f לא חסומה.
. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית.
- פתרון: נראה כי f לא חסומה.
בקטע
.
- פתרון: נשים לב כי
. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-
ולכן f אינטגרבילית.
- פתרון: נשים לב כי