לאחר שהוכחנו את משפט 2 בהרצאה הקודמת נקבל:
מסקנה: נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי . הוכחה: נבנה עידון משותף
ז"א . לפי משפט 2 מתקיים .
מסקנה נוספת: עבור f כנ"ל מתקיים . הוכחה: נקח חלוקה P של . לפי כל חלוקה Q של מסקנה 1 אומרת . נקבע את P ונקח סופרימום על כל Q ונקבל .
לבסוף נקח אינפימום על P ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int_a^b f(x)dx=\inf_P\overline S(f,P)=\overline\int_a^b f(x)dx .
משפט 3
תהי f כנ"ל. אזי וכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) .
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל קיים כך שאם אז . ברור כי אכן מתקיים . כעת יהי נתון. לםי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של כך ש- ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של כך ש-. כעת נגדיר . כיוון ש-R עידון של Q, ונובע ש-. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספת r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-. לכן נוכל להסיק
.
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה.
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרלית ב- אם"ם ואם כן .
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א . לכן, ממשפט 3, . ע"פ אריתמטיקה של גבולות וכן .
עכשיו נניח ש-. אם כן אז ממשפט דרבו . ולכן f אינטגרבילית.
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם לכל קיימת חלוקה P של כך ש-.
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 . לכן עבור קיים כך שלכל P המקיימת מתקיים .
לצד השני, נניח שלכל קיימת חלוקה P כך ש- מתקיים . כידוע, לכל חלוקה P מתקיים . לפי הנתון נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): 0\le\overline\int_a^b f\le\underline{\int}_a^b f<\varepsilon . זה נכון לכל ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int_a^b f\le\underline{\int}_a^b f=0 , כלומר f אינטגרבילית ב-.
משפט 6
תהי מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
תחילה נעיר שלפי משפט וירשטרס כל f רציפה ב- חסומה שם. כעת יהי . כיוון ש- רציפה בקטע סגור היא רציפה במ"ש, לכן קיים כך שאם ו- אז . כעת תהי P חלוקה כלשהי של כך ש-. לפיכך כאשר ו-. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס, לכל k קיימים כך ש- ו-. כעת עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \lex לא מוכרת): |y_k-z_k|\lex_k-x_{k-1}=\Delta x\le\lambda(P)<\delta
לכן לבסוף ...
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-.
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל מתקיים ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של :
ונבנה
כעת, אם נבחר כל (ובפרט הם שווים) נקבל ... נשאיף ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-</math>, {{משל}