מיכאל קונטרונוביץ, michako (@) walla.co.il
דוגמה 1
- זהו משתנה תלוי, משתנה בלתי תלוי, סדר ומעלה עבור
.
- האם
מהווה פתרון לכל
?
פתרון
-
הוא המשתנה התלוי,
בלתי תלוי, הסדר הוא 1 והמעלה – 1. זו משוואה לינארית.
-
גזירה כמכפלה, סכום והרכבה של פונקציות גזירות. לפי המשפט היסודי של החדו״א
ולכן
. אם נציב זאת במד״ר המקורית נגלה ש־
היא אכן פתרון.
דוגמה 2
- פתרו את המד״ר
.
- בהינתן תנאי התחלה
, האם יש פתרון יחיד? אם כן, מהו ומה תחום הגדרתו?
- פתרו את סעיף 2 עבור תנאי ההתחלה
.
פתרון
- ננסה להפריד את המשתנים:
עתה נתייחס למקרה : נציב במד״ר ונקבל
, לכן זהו אכן פתרון.
- ניעזר במשפט הקיום והיחידות לבעיית התחלה מסדר 1 (אנו נציג גרסה כללית יותר מזו שהוצגה בהרצאה, שמדברת על פונקציות רציפות ולאו דווקא ליפשיץ): נתון ש־
ו־
. אם קיימת סביבה פתוחה
של
שבה
רציפות אזי יש קטע
מקביל לציר
המוכל ב־
, כך שלכל
יש לבעיה פתרון יחיד. הערה: המשפט הוא תנאי מספיק ולא הכרחי לקיום יחידות.
בחזרה לתרגיל, נגדיר. אזי
פונקציה רציונלית ולכן רציפה כל עוד המכנה שונה מ־0, כלומר
. כנ״ל עבור נגזרתה. לכן נרצה מלבן פתוח
סביב נקודת ההתחלה, שאינו נוגע בצירים, למשל
. לכן מתקיימים תנאי משפט הקיום והיחידות ולפיכך יש לבעיה פתרון יחיד.
אם נפתור: הסינגולריותלא מקיימת את תנאי ההתחלה. נציב
בפתרון הכללי ונקבל
ולכן
. תחום ההגדרה של
הוא
.
- עבור
תנאי משפט הקיום והיחידות אינם מתקיימים. אין אף פתרון לבעיית ההתחלה הנ״ל – ניתן לוודא זאת בבדיקה ישירה.
דוגמה 3
פתרו את המשוואה .
פתרון
אינו פתרון כיוון שנובע ממנו ש־
, בסתירה. נשים לב ש־
מרכזי ובלעדי במשוואה, לכן נסמנו כ־
ונקבל
. מפני ש־
מתקיים
ולכן נחלק ב־
. נקבל
לכן (נניח ש־
) מתקיים
. לבסוף
. נבדוק את
בנפרד ונגלה שהוא אכן פתרון סינגולרי.
דוגמה 4
פתרו את בעיית ההתחלה .
פתרון
הערה: פונקציה נקראת הומוגנית חיובית מסדר
אם לכל
ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \dom לא מוכרת): (x,y)\dom(g)
מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \g לא מוכרת): \g(\lambda x,\lambda y)=\lambda^kg(x,y)
.
כאן ו־
הומוגניות מסדר 2 ולכן המד״ר הומוגנית. במקרה
נביאה לצורה
. נציב
ואז
. הפתרון הכללי הוא
, ומתנאי ההתחלה נובע ש־
עבור
.