נוספו 10,389 בתים,
16:27, 24 ביוני 2011 =טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}=
==משפט 2==
יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S</math> במובן הרחב אז <math>S=R</math>.
===הוכחה===
יהי x כרצוננו ונוכיח שאם <math>|x-x_0|<S</math> אז הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>S</math> אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-<math>b_n=a_n(x-x_0)^n</math> ולכן אם <math>|x-x_0|<S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S<1</math> ואם <math>|x-x_0|>S</math> אזי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S<1</math>. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|<S</math> (ולכן <math>S\le R</math>) ואינו מתכנס בהחלט אם <math>|x-x_0|>S</math> (ולכן <math>S\ge R</math>). מכאן ש-<math>R=S</math>. {{משל}}
===דוגמאות===
בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.
# <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}(x-5)^n</math>. אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות: {{left|<math>\begin{align}R&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^n(n+1)}{n^n}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^n\\&=e\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}(x-5)^{2n}</math>. ''דרך ראשונה:'' נעשה זאת לפי מבחן המנה: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+3}/n^3}{2^{n+4}/(n+1)^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^3\cdot\frac12=\frac12</math>, אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{2n}|}{|a_{2n+2}|}</math> במקום <math>\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math>. עם זאת, נשים לב שאם נציב <math>y=(x-5)^2</math> אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}y^n</math>. מכאן שהטור מתכנס כאשר <math>|x-5|^2=|y-0|<\frac12</math>, כלומר כאשר <math>|x-5|<\sqrt\frac12</math>, ולכן הוא <math>R=\sqrt\frac12</math>. {{משל}} ''דרך שנייה:'' נחשב בעזרת מבחן השורש: <math>R=1/\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}</math>. גם כאן יש מכשול כי <math>a_{2n}=\frac{2^{n+3}}{n^3}</math> ואילו <math>a_{2n+1}=0</math>. לגבי האינדקסים האי-זוגיים <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{a_{2n+1}}=0</math> ולגבי הזוגיים <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{a_{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[2n]{2^{n+3}}}{\sqrt[2n]{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac12+\frac3{2n}}}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{3/2}}=\frac{2^\frac12}1=\sqrt2</math>. לכן <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt2</math> ולפיכך <math>R=\frac1\sqrt2=\sqrt\frac12</math>. {{משל}}
# <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!x^n</math>. לפי מבחן המנה: <math>R=\lim_{n\to\infty}\frac{|n!|}{|(n+1)!|}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0</math>. {{משל}} מכאן שהטור מתכנס רק עבור <math>x=0</math>.
# דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה <math>\infty</math> פעמים בסביבת <math>x_0</math>. לכל <math>N\in\mathbb N</math> ניתן לכתוב <math>f(x)=P_N(x)+R_N(x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=P_N(x)=f(x)-R_N(x)</math>. אם עבור x מסויים <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math> אזי <math>f(x)=\lim_{N\to\infty}f(x)-R_N(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n</math>, וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב <math>x_0</math>". עבור <math>x_0=0</math> הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: <math>e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>, שרדיוס ההתכנסות שלו הוא <math>\infty</math>: <math>R=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\infty</math>.
===דוגמאות נוספות===
# נקח <math>f(x)=\sin(x)</math> ו-<math>x_0=0</math>. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל <math>\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, בתנאי ש-<math>R_N(x)\to0</math>. נוכיח שזה אכן מתקיים: <math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}</math> לכל <math>x\in\mathbb R</math>, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-<math>\sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\}</math> ולכן <math>|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. עתה יהי <math>x\in\mathbb R</math> מסויים וניצור סדרה <math>\{a_N\}</math> כך ש-<math>a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}</math>. נותר להוכיח ש-<math>a_N\to0</math>, ולכן מספיק להוכיח ש-<math>\sum_{N=0}^\infty a_N</math> מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: <math>\lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0</math>. {{משל}}
# נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> ונוכיח ש-f גזירה <math>\infty</math> פעמים ב-<math>\mathbb R</math> וש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0</math>.<br/>''טענה 1:'' אם <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> פונקציה רציונלית אזי <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0</math>. '''הוכחה:''' קיים <math>m\in\mathbb N\cup\{0\}</math> כך ש-<math>q(x)=x^m\cdot r(x)</math> עבור פולינום r שמקיים <math>r(0)\ne0</math>. לפיכך, עבור <math>y=\frac1x^2</math>, <math>\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^m}=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{y\to\infty}\frac{e^{-y}}{\left(1/\sqrt y\right)^m}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{m/2}}{e^y}</math>, ואחרי הפעלת כלל לופיטל <math>\left\lceil\frac m2\right\rceil</math> פעמים נקבל 0.<br/>''טענה 2:'' לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכל <math>x\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> מתקיים <math>f^{(n)}(x)=e^{-\frac1{x^2}}g_n(x)</math> עבור פונקציה רציונלית <math>g_n</math> כלשהי כך ש-<math>f^{(n)}(0)=0</math>. '''הוכחה:''' נוכיח באינדוקציה. עבור <math>n=1</math>: <math>f'(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}e^{-\frac1{x^2}}=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=g_1(x)e^{-\frac1{x^2}}</math> וכן <math>f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור <math>n+1</math>: <math>f^{(n+1)}(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}=e^{-\frac1{x^2}}\left(g_n'(x)+\frac2{x^3}g_n(x)\right)</math>. כמו כן <math>f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}-0}x</math>, ולפי טענה 1 זה שווה 0. {{משל}} נובע מכך שטור מקלורן של f הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum0</math>, שלא שווה ל-<math>f(x)</math> לכל x מלבד 0.
==משפט 3==
יהי טור חזקות <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> יש רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי:
# בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> מוגדרת פונקציה גבולית רציפה <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>.
# בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.
# עבור <math>|x-x_0|<R</math> מתקיים <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>, וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R.
===הוכחה===
# יהי <math>x\in(x_0-R,x_0+R)</math> כרצונינו ונבחר r המקיים <math>|x-x_0|<r<R</math>. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math>. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math> ובפרט בנקודה x. {{משל}}
# הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> והטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}</math>, לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן <math>\frac1S=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{n|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]n\sqrt[n]{|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R</math>, כלומר <math>R=S</math>. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת. {{משל}}
<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11|הרצאה שאחריה]]:}}
<ol start="3">
<li>נבחר x מסויים בקטע <math>(x_0-R,x_0+R)</math> ונסמן <math>r=|x-x_0|</math>. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין <math>x_0</math> ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_{x_0}^x a_n(t-x_0)^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math> ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא נאינטגרל המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות. {{משל}}
</li>
</ol>