נתבונן בווקטור $T^{m-1}\left(v\right)\neq 0$ (לפי הגדרת המסלול). מצד שני, $T^{m-1}\left(v \right )=T^j\left(T^{m-j-1}\left(v \right ) \right )\operatorname{im}T_0^j$, ובנוסף $T\left(T^{m-1}\left(v \right )\right)=T^m\left(v \right )=0$, כלומר $T^{m-1}\left(v \right )\in\ker T$, כדרוש.
הגיע הזמן לעבור להוכחת היחידות של צורת ז'ורדן.
\textbf{משפט:} משפט ז'ורדן הנילפוטנטי - יחידות
יהי $T:V\right V$ אופרטור נילפוטנטי מסדר $k$, ויהי $B$ בסיס מז'רדן ל-$T$. אזי מספר המסלולים מכל אורך ב-$B$ מוגדר באופן יחיד על ידי $T$ (ולכן, מספר הבלוקים מכל גודל ב-$\left [ T \right ]_B$ מוגדר ביחידות).
\textit{הוכחה:}
נוכיח כי:
\begin{enumerate}
\item המסלול הארוך ביותר ב-$B$ הוא מסדר $k$.
אם כל המסלולים ב-$B$ הם מאורך קטן מ-$k$, אזי $T^{k-1}=0$, ולכן סדר הנילפוטנטיות של $T$ הוא $k-1$, בסתירה להנחה.
אם קיים מסלול מאורך גדול מ-$k$, אז יחד עם $T^k=0$ נקבל כי $0$ שייך למסלול, בסתירה להגדרת המסלול.
\item לכל $j=1,\dots,k$, מספר המסלולים מאורך הגדול מ-$j$ שווה ל-$\dim\left(\ker T\cap\operatorname{im}T_0^j \right )$.
נסמן $E_1,\dots,E_r$ המסלולים ב-$B$. נסמן לכל $i=1,\dots,r$, $V_i=\operatorname{span}\left(E_i\right)$. נתבונן בסכום הישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r$. נסמן לכל $i=1,\dots,r$, $T_i=T|_{V_i}$.
\end{enumerate}
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>