::אה, שכחתי מתרגיל 4 (: אין צורך להוכיח את זה שוב, מותר להניח את התוצאה מתרגיל 3. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:58, 4 בנובמבר 2010 (IST)
== תרגיל 4 שאלה 8 ==
אוקיי אז ככה,
אני צריך להוכיח שעבור כל סדרה מתכנסת יש לה תת סדרה מונוטונית.
עכשיו זה מאוד קל להבין למה זה קורה אבל להוכיח זה סיפור אחר.
אני יודע שכדי להוכיח שסדרה היא מונוטונית צריך להוכיח ש
<math>a_n > a_(n+1)</math> או <math>a_n < a_(n+1)</math> לכל n.
עכשיו, ע"פ משפט בולצנו ויירשטראס לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
אז בתכלס כל מה שנשאר לי להוכיח זה שלכל סדרה מתכנסת יש תת סדרה מונוטונית וסגרתי את הפינה הזאת.
אז אני יכול לומר שאם סדרה מתכנסת ל-L אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-L ואז יש אינסוף איברי סדרה או גדולים או קטנים מ-L.
אם נניח שיש אינסוף גדולים מ-L אז חייב להיות עבור כל איבר בסדרה, עוד איבר שקטן ממנו שיותר קרוב לגבול (שעדיין גדול מהגבול), אחרת הוא לא היה הגבול.
אותו עיקרון אם יש אינסוף איברים שקטנים מ-L.
וזה בתכלס ההוכחה שלי, רק שאני לא יודע לכתוב את זה בכתיב מתמטי!!!
נא עזרה.