אינטגרלים לא אמיתיים, סוג I
לפחות אחד מגבולות האינטגרל הוא אינסוף.
דוגמה 1
הראה כי מתכנס ומצא חסם עליון.
פתרון
ברור כי ולכן
. עבור הקטע
ברור כי מתקיים
, לכן
ואז
. לכן בסה"כ
.
מבחן דיריכלה
- f ו-g רציפות.
- f יורדת מונוטונית לאפס.
- הנגגזרת של f רציפה.
-
חסומה.
אזי מתכנס.
דוגמה 2
הוכיחו כי לכל האינטגרל
מתכנס.
פתרון
נסמן וכן
. עבור
ברור כי f רציפה בקטע,
רציפה ו-f יורדת לאפס. ברור כי g רציפה. נוכיח כי G חסומה:
. מסכנה: ממשפט דיריכלה
מתכנס.
אינטגרלים לא אמיתיים, סוג II
במקרה זה מסתכלים בסביבה של נקודת אי-רציפות.
הגדרה: נניח f אינטגרבילית בכל תת קטע של
וכן לא חסומה בסביבת a. אם קיים
אז
. באופן דומה מגדירים עבור גבול אינטגרציה עליון.
אם נקודת אי-רציפות נרשום
. ושוב, באופן דומה לאינטגרל לא אמיתי מסוג I, שני האינטגרלים צריכים להתכנס.
כלל ידוע: מתכנס אם"ם
.
דוגמה 3
יהי . הוכיחו כי
מתכנס אם"ם
.
פתרון
ואז
.
נעשה הצבה ואז
. לפיכך מספיק לפתור את האינטגרל (נסתכל תחילה על האינטגרל הלא מסויים)
. עבור
זה שווה ל-
ועבור
:
.
נחזור ל-x: עבור המקרה נקבל
.
עבור נקבל
.
את המקרה הנ"ל החלק לשני תת מקרים:
- אם
, כלומר
אז
ולכן
. מכאן שהאינטגרל מתבדר.
- אם
, כלומר
, אזי ברור כי
ולכן האינטגרל מתכנס.
מבחני ההשוואה לאינטגרל לא אמיתי מסוג II
בשני המבחנים f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
מבחן ההשוואה
נניח ש-. אזי אם
מתכנס גם
מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי
נניח ש- וכן
.
- אם
נאמר ש-
ו-
מתבדרים או מתכנסים יחדיו.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
דוגמה 4
קבעו התכנסות של .
פתרון
נשווה ל-: לפי כלל לופיטל
.
ידוע כי
מתבדר ולכן האינטגרל הנתון מתבדר גם כן.
דוגמה 5
קבעו התכנסות .
פתרון
קל להפוך את האינטגרל מסוג II לסוג I ע"י הצבה . לכן
ונקבל
. ניתן להראות כי אינטגרל זה מתכנס בדומה למה שעשינו עם
, בעזרת מבחן דיריכלה.
דוגמה 6
הוכיחו התכנסות בתנאי של .
פתרון
מצאנו כבר כי מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בהחלט:
ברור כי . אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל
ואז
. נותר להוכיח כי
מתבדר:
- דרך א: נפעיל את מבחן ההשוואה הגבולי:
.
מתבדר ולכן
מתבדר.
את ההמשך עשינו בתרגול שאחריו:
- דרך ב: מתקיים
.
ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב ואז
נקבל
שמתכנס לפי דיריכלה.