השתנות חסומה
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי חלוקה של (). נגדיר . נתבונן בקבוצת כל המספרים עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא .
משפט: פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.
דוגמה 1
קבעו האם בעלת השתנות חסומה.
פתרון
נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה של הקטע ולכן
משפט: פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה בו.
משפט: השתנות חסומה שומרת על חיבור וכפל בסקלר: .
דוגמה 2
תהינה f ו-g בעלות השתנות חסומה ב-.
- הוכיחו כי המכפלה בעלת השתנות חסומה.
- נתון שבנוסף קיים כך ש- לכל . הוכיחו בעלת השתנות חסומה בקטע.
פתרון
- נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן אזי f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן ולכן .
- מתקיים ולכן
דוגמה 3
הוכח או הפרך: אם f בעלת השתנות חסומה בכל קטע סגור המוכל בקטע הפתוח אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע הסגור .
פתרון
ניתן דוגמה נגדית: נגדיר . ניתן לראות כי f עולה ממש בקטע הפתוח ולכן בכל תת קטע סגור המוכל בקטע . לפיכך f בעלת השתנות חסומה בכל תת קטע סגור של , אבל היא אינה חסומה כאשר ולכן אינה בעלת השתנות חסומה ב-.