טורי חזקות (המשך)
דוגמה 1
חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטור .
פתרון
נתחיל מההצבה כדי שנקבל תבנית של טור חזקות:
. נעזר במבחן המנה:
, כלומר רדיוס ההתכנסות של הטור החדש הוא
ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור המקורי (מכיוון ש-
) הוא
.
דוגמה 2
מצאו את תחום ההתכנסות של הטור וחשבו את סכומו לכל x בתחום.
פתרון
אם נציב נקבל את הטור ההנדסי
. טור זה מתכנס אם"ם
ואם כן אזי
. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא
וסכום הטור הוא
.
דוגמה 3
הוכח כי .
פתרון
נכוון לטור טיילור של כי
. ידוע כי
, ומכיוון ש-
מתכנס במ"ש על
ל-
לכל
אפשר לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
. הנקודה
אמנם אינה נמצאת ב-
, אבל אפשר להשתמש במבחן אבל: אם לטור
יש רדיוס התכנסות R ו-
מתכנס ל-S אזי
קיים ושווה ל-S. לפיכך
.
דוגמה 4
חשבו בקירוב של
.
פתרון
טור טיילור של הוא
ולכן טור טיילור של
הוא
. ברור כי הטור הנ"ל מתכנס במ"ש בכל
(כי רדיוס ההתכנסות הוא, עפ"י מבחן השורש או מבחן המנה,
) ולכן נעשה אינטגרציה איבר-איבר:
. הטור באגף הימיני ביותר הוא טור לייבניץ ולכן (מאינפי 1)
(כאשר S הוא סכום הטור,
הוא סכום הטור החלקי מהאיבר ה-0 עד n, ו-
הוא האיבר ה-
של הטור). עבור
מתקיים
ולכן נחשב
, ונקבל
.
דוגמה 5
נתונה פונקציה רציפה כלשהי ב-
והפונציה
.
- הוכיחו כי הטור
מתכנס במ"ש בתחום ההגדרה של
.
- העזרו בכך ש-
(אין צורך להוכיח זאת) וחשבו את
.
פתרון
- נעזר במבחן ה-M של ויירשראס:
ו-
מתכנס, לכן הטור
מתכנס במ"ש על
.
טענת עזר: נוכיח שהטווח שלהוא קטע. ראשית נוכיח שלכל קטע
,
הוא קטע. ממשפט ויירשראס השני, קיימת נקודה
שבה
מקסימלית ו-
שבה היא מינימלית, ונניח בלי הגבלת הכלליות ש-
. אזי
רציפה ב-
ולכן, מממשפט ערך הביניים, לכל
קיים
כך ש-
. לפיכך הוכחנו ש-
. מאידך,
הוא הערך המינימלי של
ו-
הוא הערך המקסימלי, לכן ברור ש-
. מכאן ש-
, כלומר הטווח הוא קטע, כדרוש. הטענה נכונה לכל קטע
ולכן נשאיף
ונקבל שהיא נכונה ל-
.
לפיכך מתקיימים התנאים לשימוש במבחן ה-M של ויירשראס, ומכיוון שהטור של f מתכנסת במ"ש עלהוא בפרט מתכנס במ"ש על תת הקטע
. מכאן ש-
מתכנס במ"ש.
- הטור מתכנס במ"ש ולכן ניתן לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
דוגמה 6
קרבו את כך שהשארית קטנה מ-
.
פתרון
נעזר בטור טיילור מסדר N של :
ונציב
. קיבלנו
, שהוא טור לייבניץ ולכן
(כאשר
, ומכיוון שכבר הוכחנו בעבר ש-
נקבל
). דרוש ש-
, ובגלל ש-
נחשב
.