הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
לפני שמתחילים
בהינתן משוואה ניתן להציב
.
המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה עבור מספרים
כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-
כי
הוא פתרון אם ורק אם
הוא פתרון של המשוואה ב-
.
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה .
הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם או
), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-
.
שיטה ראשונה (טארטאגליה)
נחפש כך שיתקיים
.
טענה: במצב זה, הוא שורש של המשוואה.
הוכחה: נציב ונבדוק:
![y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q](/images/math/f/5/e/f5e6d727889be7bd903256eaa4b9ff42.png)
![=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0](/images/math/c/8/0/c8037b059b8d6157cf115b8a5b5c8647.png)
מש"ל.
כדי למצוא נשים לב ש-
ולכן
הם שורשים של המשוואה הריבועית
. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות
ואז נבחר
.
שיטה שניה (מאוחרת יותר)
נציב כאשר
. אם נשתמש בזהות
נקבל:
![y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta)](/images/math/4/f/a/4fa202f0370f2094ec44218fcf7bda11.png)
![=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q](/images/math/e/7/3/e7389b855a75a3264f4bc7bc6d170879.png)
לכן, מספיק למצוא כך ש-
כדי ש-
יהיה פתרון.
בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-
מרוכב כדי לחלץ את
ואז נצטרך להפעיל
מרוכב על
(כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).