הגדרה
מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה
משפט
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים
אלגוריתם לשילוש מטריצה
- ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
- נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה
- נסמן
. נסמן ב
את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
- ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה
על ידי המטריצה
. כיוון שהמטריצה
קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית).
- נסמן
, כאשר
הינה מטריצה היחידה מגודל k.
- סה"כ
הינה מטריצה משולשית
דוגמאות
נשלש את המטריצה
ראשית נמצא את הפולינום האופייני:
הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.
לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:
נסמן
ונשלים אותו לבסיס
נסמן
וכעת נקבל
נסמן
במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור
נקבל
לבסוף נסמן
ונקבל כפי שרצינו: