תרגיל על קבוצה פורשת

תרגיל

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי, ונניח [math]\displaystyle{ S=\{v,u,w\} }[/math] קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: [math]\displaystyle{ S'=\{v+u,v+w,u+w\} }[/math] פורשת.

פתרון

כפי שראינו בכיתה, לוקחים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כללי ובודקים האם יש [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \alpha_1(v+u)+\alpha_2(v+w)+\alpha_3(u+w)=v }[/math]. לפי הנתון ש-[math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת ידוע שיש [math]\displaystyle{ \beta_1,\beta_2,\beta_3 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \beta_1v+\beta_2u+\beta_3w=v }[/math], לכן אם מתקיים [math]\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2=\beta_1\land \alpha_1+\alpha_3=\beta_2\land \alpha_2+\alpha_3=\beta_3 }[/math] אז הקבוצה אכן פורשת. זה שקול למערכת המשוואות הבאה:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&|\beta_1 \\ 1&0&1&|\beta_2 \\ 0&1&1&|\beta_3 \end{bmatrix} }[/math].

כפי שראינו בתרגול, הדירוג מוביל ליחידה ולכן יש פתרון למערכת, כלומר הקבוצה אכן פורשת.

נשאלת השאלה (מה שגרם לבלבול בתרגול...): מה היה קורה אילו לא היה פתרון למערכת? האם זה אומר שהקבוצה בהכרח לא פורשת? לצורך העניין, אם היינו לוקחים [math]\displaystyle{ S'=\{v+u,u+w\} }[/math] מה התשובה צריכה להיות? יש הפרכה, אך יש מצבים בהם גם הקבוצה הזו פורשת. מוזמנים למצוא דוגמאות.