88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 7

שאלה 1

השאלה הזו לוקחת אותנו קצת אחורה בחומר, אבל היא חשובה מאוד.

תהי [math]\displaystyle{ E \subseteq \mathbb R }[/math]. הוכיחו כי התנאים הבאים שקולים:

(1) [math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה לבג.

(2) לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת קבוצה [math]\displaystyle{ O \supseteq E }[/math], פתוחה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], עבורה [math]\displaystyle{ m^* \left( O \setminus E \right) \lt \varepsilon }[/math]

(3) לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת קבוצה [math]\displaystyle{ S \subseteq E }[/math], סגורה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], עבורה [math]\displaystyle{ m^* \left( E \setminus S \right) \lt \varepsilon }[/math]

(4) קיימת קבוצה [math]\displaystyle{ G \in G_\delta }[/math], כך ש-[math]\displaystyle{ G \supseteq E }[/math], וגם [math]\displaystyle{ m^*(G \setminus E)=0 }[/math]

(5) קיימת קבוצה [math]\displaystyle{ F \in F_\sigma }[/math], כך ש-[math]\displaystyle{ F \subseteq E }[/math] וגם [math]\displaystyle{ m^*(E \setminus F)=0 }[/math]

הדרכה:

א. הניחו תחילה כי [math]\displaystyle{ m^* (E)\lt \infty }[/math], והוכיחו [math]\displaystyle{ (1) \implies (2) }[/math]

ב. ע"פ א' הראו כי לכל קבוצה [math]\displaystyle{ E }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (1) \implies (2) \implies (4) \implies (1) }[/math] (אפילו אם [math]\displaystyle{ m^*(E)=\infty }[/math]).

בשביל להראות [math]\displaystyle{ (4) \implies (1) }[/math] כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס [math]\displaystyle{ G_\delta }[/math] הן מדידות לבג (וגם כמובן קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).

ג. ע"פ ב' הראו כי לכל קבוצה [math]\displaystyle{ E }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (1) \implies (3) \implies (5) \implies (1) }[/math].

בשביל הגרירה [math]\displaystyle{ (5) \implies (1) }[/math] כדאי לזכור שקבוצות מטיפוס [math]\displaystyle{ F_\sigma }[/math] מדידות לבג (ושוב, כמובן שגם קבוצות עם מידת לבג חיצונית 0).

שאלה 2

א. בתרגול הראינו שאם [math]\displaystyle{ I=[a,b] }[/math] קטע סגור וחסום, אזי מרחב הפונקציות הרציפות בו בהחלט, [math]\displaystyle{ \text{AC} \left( \left[ a,b \right] \right) }[/math], סגור ביחס לכפל בסקלר, חיבור פונקציות וכפל פונקציות.

מה ניתן לומר על המרחב [math]\displaystyle{ \text{AC} \left( I \right) }[/math] אם [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע לא חסום? הוכיחו את דבריכם!

ב. יהי [math]\displaystyle{ I \subseteq \mathbb R }[/math] קטע כלשהו, [math]\displaystyle{ f:I \to \mathbb R }[/math] ממחלקה [math]\displaystyle{ C^1 (I) }[/math] (גזירה ברציפות בקטע). האם [math]\displaystyle{ f \in \text{AC} (I) }[/math]?

ג. הוכיחו ע"י שלילת ההגדרה (ורק ע"י שלילת ההגדרה!) כי פונקציות קנטור אינה רציפה בהחלט בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

רמז: אם בוחרים את הקטעים [math]\displaystyle{ \{ (a_k,b_k) \} }[/math] בחכמה, זה פשוט.

שאלה 3

כזכור אם [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית, ומוגדרת בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math], הנגזרת הסימטרית שלה שם מוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ f'_{\text{sym}}(x):=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} }[/math] (אם הגבול קיים כמובן).

א. הוכיחו כי אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודה כלשהי [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math], אזי הנגזרת הסימטרית קיימת בנקודה זו, ומתקיים [math]\displaystyle{ f'_\text{sym}(x)=f'(x) }[/math].

ב. תנו דוגמא למצב שבו [math]\displaystyle{ f }[/math] לא גזירה בנקודה כלשהי [math]\displaystyle{ x }[/math] - ובכל זאת קיימת [math]\displaystyle{ f'_\text{sym}(x) }[/math].

בהצלחה!

שאלה 4

א. יהי [math]\displaystyle{ I=[a,b] \subset \mathbb{R} }[/math] קטע סגור וחסום, ותהי [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to (0,\infty) }[/math] פונקציה רציפה בהחלט וחיובית ממש. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{f} \in \text{AC} ([a,b]) }[/math].

ב. האם סעיף א' נשאר נכון אם מדובר בקטע פתוח?

בהצלחה!