הגדרה
מטריצה נקראת אוניטרית אם
כאשר
משפט
א. אוניטרית אם"ם
אוניטרית.
ב. A אוניטרית אם"ם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית אם"ם עמודותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית
תרגילים
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.
הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.
הוכחה
ראשית, C אורתונורמלי אם"ם .
כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים
אבל B אורתונורמלי ולכן
וסה"כ קיבלנו
והרי אורתונורמלית אם"ם
אם"ם אם"ם C אורתונורמלי
2
תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.
פתרון:
יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור כך ש
.
לכן
כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים ולכן ביחד אנו מקבלים:
כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב על מנת לקבל