נוספו 6,049 בתים,
15:15, 20 באפריל 2011 =האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}=
הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\int\limits_c^x f=f(x)</math>.
==דוגמה 1==
גזור את הפונקציות הבאות:
<ol>
<li><math>I(x)=\int\limits_1^x e^{t^2}\mathrm dt</math>:
===פתרון===
ברור כי <math>e^{t^2}</math> פונקציה גזירה, ולכן <math>\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=e^{t^2}</math>.
</li><li><math>I(x)=\int\limits_1^{x^3}\frac{\ln(t)}{t^2}\mathrm dt</math>:
===פתרון===
<math>\frac{\ln(t)}{t^2}</math> בוודאי גזירה בתחום. נסמן <math>y=x^3</math> ולכן <math>\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\ln(y)}{y^2}\cdot3x^2=\frac{\ln(x^3)}{x^6}\cdot3x^2=9\frac{\ln(x)}{x^4}</math>. {{משל}}
</li></ol>
''הערה:'' במקרה של <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f</math> נפרק את האינטגרל לסכום <math>\int\limits_c^{h(x)} f+\int\limits_{g(x)}^c f</math>.
=אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I=
לפחות אחד מגבולות האינטגרציה אינסופי. נסמן <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int\limits_a^b f</math> ובאופן דומה <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{a\to-\infty}\int\limits_a^b f</math> וכן <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^c f+\int\limits_c^\infty f</math> עבור c כך ששני האינטגרלים יהיו קיימים.
'''כלל ידוע:''' <math>\int\limits_a^\infty\frac{\mathrm dx}{x^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha>1</math>.
==דוגמה 2==
חשבו את <math>\int\limits_1^\infty\cos</math>, אם קיים.
===פתרון===
<math>\int=\lim_{b\to\infty}[\sin(x)]_{x=1}^b=\lim_{b\to\infty}\sin(b)-\sin(1)\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר מתבדר.
==דוגמה 3==
חשבו את <math>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\arctan(x)}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נציב <math>y=\arctan(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{1+x^2}</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\arctan(-R)}^{\arctan(0)} y\mathrm dy+\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\arctan(0)}^{\arctan(R)} y\mathrm dy\\&=\left[\frac{y^2}2\right]_{y=-\frac\pi2}^0+\left[\frac{y^2}2\right]_{y=0}^\frac\pi2\\&=-\frac{\pi^2}8+\frac{\pi^2}8\\&=0\end{align}</math>}} {{משל}}
==דוגמה 4==
חשבו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty xe^x\mathrm dx</math>.
===פתרון===
<math>\int=\lim_{R\to\infty}\left[xe^x\right]_{x=-R}^R-\int\limits_{-R}^R e^x\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}Re^R-\left(-Re^{-R}\right)-e^R+e^{-R}=\infty</math>. {{משל}}
==מבחני התכנסות==
===מבחן ההשוואה===
<math>0\le f(x)\le g(x)</math> אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
===דוגמה 5===
קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty x^{-x}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
נבדוק מתי <math>x^{-x}\le\frac1{x^2}</math>: <math>x^{-x+2}\le1\Longleftarrow x\ge2</math>. לכן נרשום <math>\int=\underbrace{\int\limits_1^2 x^{-x}\mathrm dx}_I+\underbrace{\int\limits_2^\infty x^{-x}\mathrm dx}_{II}</math>. האינטגרל I בוודאי מתכנס, כי גבולות האינטגרציה סופיים והפונקציה רציפה בתחום. נותר להראות ש-II מתכנס: כפי שכבר הראנו, בתחום הזה <math>x^{-x}\le\frac1{x^2}</math> ולכן מספיק לבדוק התכנסות האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>, שכידוע מתכנס. {{משל}}
===דוגמה 6===
קבעו התכנסות האינטגרל (האמיתי) <math>\int\limits_0^1 x^{-x}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
ברור שפרט לנקודה 0 האינטגרנד מוגדר בקטע. נסתכל על הגבול כאשר <math>x\to0^+</math>: <math>\lim_{x\to0^+} x^{-x}=\lim_{x\to0^+} e^{-x\ln(x)}=\lim_{x\to0^+}e^{-\frac{\ln(x)}{1/x}}=\lim_{x\to0^+}e^{-\frac{1/x}{-1/x^2}}=\lim_{x\to0^+}e^x=1</math>. לכן נגדיר <math>g(x)=\begin{cases}x^{-x}&0<x\le1\\1&x=0\end{cases}</math>. פונקציה זו רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> ולכן ברור שהאינטגרל שלה בקטע מתכנס. מכיוון שהיא שונה מהאינטגרנד המקורי במספר סופי של נקודות גם <math>\int\limits_0^1 x^{-x}\mathrm dx</math> מתכנס. {{משל}}
===דוגמה 7===
קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}x\mathrm dx</math>.
====פתרון====
בקטע הנ"ל arctan היא פונקציה עולה. לכן אם נכוון להתבדרות נשים לב כי <math>\frac\pi4=\arctan(1)\le\arctan(x)</math> ולכן <math>\frac\pi4\cdot\frac1x\frac{\arctan(x)}x</math>. אבל <math>\frac\pi4\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}x</math> מתבדר ולכן כך גם האינטגרל הנתון. {{משל}}
===מבחן ההשוואה הגבולי===
נתון <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> כאשר f,g פונקציות אי-שליליות.
* אם <math>0<L<\infty</math> אז <math>\int f</math> ו-<math>\int g</math> מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
* אם <math>L=0</math> אז התכנסות <math>\int g</math> גוררת התכנסות <math>\int f</math>.
* אם <math>L=\infty</math> אז התכנסות <math>\int f</math> גוררת התכנסות <math>\int g</math>.
===דוגמה 8===
קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
ידוע כי <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס. הגבול <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\ \frac{\arctan(x)}{x^2}\ }\frac1{x^2}=\lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\frac\pi2<\infty</math> קיים ולכן <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math> מתכנס. {{משל}}