נוספו 10,727 בתים,
14:14, 15 במאי 2011 ==תרגיל ברוח מבחן==
נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I.
===פתרון===
אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז נוכל לקחת <math>\varepsilon=1</math> ולמצוא n מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<1</math> ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)|-|f_n(x)|<1</math>. לכן <math>|f(x)|<|f_n(x)|+1</math>. נתון ש-<math>f_n</math> חסומה, נניח <math>|f_n(x)|\le M</math> אזי <math>\forall x\in I:\ |f(x)|<M+1</math>. {{משל}}
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}</math> ב-<math>(0,1)</math>. אזי <math>f_n\to f</math> נקודתית וכל <math>f_n</math> חסומה ע"י n, אלא ש-<math>f(x)=\frac1x</math>, שבוודאי לא חסומה. {{משל}}
----
'''הגדרה:''' נתונה סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> ב-I.
==משפט 5==
סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
===הוכחה===
תחילה נניח שקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>.
כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>.
לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים ועבור <math>x\in I</math> כלשהו נשאיף <math>m\to\infty</math> כלומר <math>|f_n(x)-f_m(x)|\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> הדבר נכון לכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math>. לכן הוכחנו ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I. {{משל}}
=טורי פונקציות=
נאמר שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס ל-<math>S(x)</math> במ"ש על I אם <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x)</math> במ"ש על I.
'''הגדרה:''' הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>\left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.
==משפט 6==
הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
===הוכחה===
לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנס במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}}
==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)}}==
נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס ממש. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I.
===הוכחה===
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> קושי במ"ש ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math> או <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n\right|\le\left|\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור <math>\sum f_n</math> במ"ש על I. {{משל}}
===מסקנה===
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל <math>x\in I</math> <math>\sum f_n</math> מתכנס בהחלט.
====הוכחה====
נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי נתון לכל k <math>|f_n(x)|\le M_k</math> נתון ש- <math>\sum M_n</math> מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה <math>\sum |f_n|</math> מתכנס. {{משל}}
====דוגמה====
נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infyt x^n</math> מתכנס נקודתית בקטע <math>(-1,1)</math> אבל לא במ"ש ונוכיח שאם <math>0<r<1</math> הטור מתכנס ב-<math>[-r,r]</math>. תשובה: כבר הוכחנו שאם <math>-1<x<1</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס ל-<math>\frac1{1-x}</math>. ההתכנסות אינה במ"ש כי לכל סכום חלקי <math>S_N</math> חסומה בקטע <math>(-1,1)</math>. <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^\infty |x^n|\le\sum_{n=0}^\infty 1=\infty</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math>. היינו מסיקים שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-<math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>.
==משפט 8==
נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-<math><math>formula</math>x_0</math>.
===הוכחה===
לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>.
מאינפי 1 ידוע ש-<math>S_N(x)</math> רציפה ב-<math>x_0</math> עבור כל N. נתון <math>S_N\to S</math> במ"ש על I.
לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-<math>x_0</math>. {{משל}}
===מסקנה===
בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם f רציפה ב-I כולו.
==משפט 9==
נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b</math\sum_{n=1}^\infty f> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
===הוכחה===
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math>S_n\to S</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>.
לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מתאנו שקיים גבול <math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> לפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n</math> והוכחנו שהוא שווה <math>\int\limits_a^b S</math>. {{משל}}
==משפט 10==
יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח:
* עבור <math>x_0\in I</math> אחד לפחות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס.
* <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש לפונקציה g על I.
אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'=g</math>. בפרט, בתנאים אלה <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>.
===הוכחה===
בהרצאה הבאה
===דוגמה ממבחן===
לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-f מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בכלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>.
====פתרון====
בהרצאה הבאה