<math>[T(e_1)\cdots T(e_n)]=(e_{\sigma(1)}\cdots e_{\sigma(n)})=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1}=1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
שהדטרמיננטה שלו היא <math>sign(\sigma)a_{\sigma(1),1}\cdots a_{\sigma(n),n}</math>
(ברור שאתה יכול להמשיך עוד שלב ולומר שזה שווה ל-
<math>\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1,\sigma^{-1}(1)}=1 & \cdots & a_{n,\sigma^{-1}(n)}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
אבל לא ביקשו את זה מאיתנו, והסימן של סיגמא נובע לפני הסימן של סיגמא במינוס אחד.)
לגבי הסימן של סיגמא נובע (וזה עונה על שאלתך על הקשר בין המטריצות האלמנטריות לחילופים, אז שים לב ) מהעובדה שהמטריצה שקיבלנו <math>\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1}=1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math> היא מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות של חילופי שורות, כאשר כל חילוף שורות מתאים לחילוף בפירוק של סיגמא לחילופים, ולכן הדטרמיננטה של <math>\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{\sigma(1),1}=1 & \cdots & a_{\sigma(n),n}=1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math> היא מכפלת הדטרמיננטות שלהן, כל אחת מינוס אחת, ויש כאלו כמספר החילופים בסיגמא.
(עדי)