כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים <math>D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\}</math> מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר <math>\epsilon = Min(D)/2>0</math>. כעת, לפי תנאי קושי, קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n,m>n_0</math> מתקיים <math>|a_m-a_n| < \epsilon</math>
אבל אם <math>a_n \neq a_m </math> אזי <math>|a_m-a_n| \in D</math> ואבל <math>|a_n-a_m|<\epsilon < Min(d)</math> וזו סתירה.