נוספו 2,347 בתים,
16:35, 22 בנובמבר 2012 == שאלה 1 ==
הוכיחו את ההכללה הבאה של התוצאה שהבאנו בתרגול. נדרש רק שינוי קל של ההוכחה שניתנה:
יהיו <math>(X,d),(Y,\rho)</math> מרחבים מטריים, <math>U \subseteq X</math> קבוצה פתוחה, ו- <math>f:U \to Y</math> פונקציה כלשהי. הראו כי קבוצת הנקודות בהן <math>f</math> רציפה היא מטיפוס <math>G_\delta</math>
== שאלה 2 ==
א. '''תזכורת:''' למת פאטו אומרת שאם לכל <math>n</math> הפונקציה <math>f_n:X \to [0,\infty]</math> מדידה, אזי <math>\liminf f_n \ge 0</math> מדידה, ומתקיים <math>\int_X \liminf f_n \, d\mu \leq \liminf \int_X f_n \, d\mu</math>
תנו דוגמא לסדרת פונקציות בממ"ח <math>([0,1],L(\mathbb{R}) \cap [0,1],m)</math> שבה האי שוויון בלמת פאטו הוא <math>0 \leq 1</math>.
'''רמז:''' בנו סדרה של פונקציות חסומות ורציפות למקוטעין <math>\{ f_n \}</math> המקיימות <math>f_n \to 0</math> אבל <math>\int_{[0,1]} f_n \, d\mu=1</math> לכל <math>n</math>.
ב. האם משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג נכון גם לגבי סדרת '''יורדת''' של פונקציות מדידות ואי שליליות? (כלומר <math>\infty \ge f_1 \ge f_2 \ge \dots \ge 0</math>). אם כן הוכיחו ואם לא תנו דוגמא נגדית.
== שאלה 3 ==
א. חשבו את הגבול הבא: (אתם רשאים להניח שהשיטות לחישוב אינטגרלים מאינפי', כמו המשפט היסודי, עובדות גם עבור אינטגרלי לבג)
<math>\lim_{n \to \infty} \int_0^n \frac{n \sin \frac{x}{n}}{x(1+x^2)} \, dm(x)</math>
'''רמז:''' כדי להראות עליה ב-<math>n</math>, התייחסו ל-<math>n</math> כמשתנה רציף והראו כי הנגזרת של הביטוי לפיו אי-שלילית, כל עוד <math>x \in (0,n)</math>. הסתמכו על כך שאם <math>t \in [0,1]</math> אזי <math>\tan(t) \ge t</math>.
ב. הוכיחו כי לכל <math>p>0</math> מתקיים <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(p+k)^2}=\int_0^1 \frac{x^p}{x-1} \log x \, dm(x)</math>.
'''רמז:''' משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג.
בהצלחה!