נוספו 3,265 בתים,
17:36, 29 בנובמבר 2012 == שאלה 1 ==
'''תזכורת:''' מידה <math>\mu</math> על מרחב מדיד <math>(X,\mathcal{S})</math> נקראת שלמה אם לכל קבוצה מדידה <math>E \in \mathcal{S}</math>, עבורה <math>\mu(E)=0</math>, מתקיים שכל תת-קבוצה שלה <math>F \subseteq E</math> היא מדידה (כלומר נמצאת ב-<math>\mathcal{S}</math>).
יהי <math>(X,\mathcal{S},\mu)</math> מרחב מידה חיובית ושלמה ותהי <math>f:X \to \mathbb{R}^*</math> פונקציה מדידה. תהי <math>g:X \to \mathbb{R}^*</math> פונקציה השווה ל-<math>f</math> כמעט בכל מקום, ז"א <math>\mu \left( \{ x \in X:f(x) \neq g(x) \} \right)=0</math>. הוכיחו כי <math>g</math> אף היא מדידה.
== שאלה 2 ==
בתרגיל הקודם הוכחנו שלכל <math>p>0</math> מתקיים <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p+n)^2}=-\int_0^1 \frac{x^p}{1-x} \log x \, dm(x)</math>. לא קשה לראות שהנוסחה נכונה גם עבור <math>p=0</math>, ובמקרה זה מקבלים <math>-\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dm(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\zeta(2)</math>, כאשר <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> היא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%96%D7%98%D7%90_%D7%A9%D7%9C_%D7%A8%D7%99%D7%9E%D7%9F פונקצית זטא של רימן].
הוכיחו את ההכללה הבאה של תוצאה זו: לכל <math>s \ge 2</math> טבעי <math>\zeta(s)=\frac{1}{(s-1)!} \int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \, dm(x)</math>.
'''הדרכה:'''
א. הוכיחו כי לכל <math>s \ge 2</math> וטבעי מתקיים <math>-\int_0^1 \frac{\log^{s-1} x}{1-x} \, dm(x)=(-1)^{s} (s-1)! \zeta(s)</math> (ההוכחה דומה לתרגיל הקודם).
ב. בצעו החלפת משתנים מתאימה, כלומר כזו שתעביר את תחום האינטגרציה מהקטע <math>(0,1)</math> אל הקרן <math>(0,\infty)</math> (אולי עדיף לפצל לשתי החלפות משתנים).
ג. ברכות! מצאתם ייצוג אינטגרלי של פונקציית זטא.
== שאלה 3 ==
יהיו <math>a \neq 0,b</math> מספרים ממשיים, ותהי <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> מדידה לבג ואינטגרבילית. הוכיחו כי מתקיים <math>\frac{1}{|a|} \int_\mathbb{R} f(x)=\int_\mathbb{R} f(ax+b)</math>.
'''הדרכה:'''
א. הוכיחו זאת תחילה לפונקציות אינדיקטור. לשם כך בדקו מהי הפונקציה <math>I_E(ax+b)</math> כאשר <math>I_E(x)=\begin{cases} 1 & x \in E \\ 0 & x \notin E \end{cases}</math>
ב. הוכיחו כי הטענה נכונה גם לפונקציות פשוטות.
ג. הוכיחו זאת לפונקציות חיוביות כלשהן בעזרת משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג.
ד. כדי להראות זאת לפונקציה כללית, אפשר להראות שאם <math>g(x)=f(ax+b)</math>, אזי <math>g^+(x)=f^+(ax+b)</math> ו-<math>g^-(x)=f^-(ax+b)</math>. כאשר <math>g^+ \ge 0</math> ו-<math>g^- \ge 0</math> הן החלק החיובי והחלק השלילי בהתאמה של הפונקציה <math>g</math>.
בהצלחה!