==עוד תרגיל==
תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית
==תשובה==
(לא ארז/תומר)-נראה לי שזה נכון. תניח בשלילה שפונקצית הגבול לא מונוטונית. נניח ב.ה.כ שמדברים על מונוטונית יורדת. ואז קיימת נקודה b>a כך ש: (f(b)>f(a.כעת נתבונן באפסילון שקטן מ-f(b)-f(a))/2), וע"פ הגדרת הגבול תקבל שקיים N כך שלכל n>N קיימת נקודה x1 כך ש-fn(x1) קרובה ל-f(b) עד כדי אפסילון וכן אותו הדבר לגבי x2 כך שfn(x2) קרובה ל-f(a) עד כדי אפסילון. מכיוון שאין חיתוך בין תחומי האפסילון אזי בהכרח (fn(x1)>f(nx2 לכל n>N, בעוד שמכיוון שx1 שואף לb וx2 שואף לa אזי x1>x2 בסתירה למונוטוניות (היורדת) של fn.כל מה שנותר להוכיח זה שאם fn מונוטוניות יורדות אזי f לא יכולה להיות מונוטונית עולה שזה פשוט.
==שאלה==