נוספו 1,578 בתים,
18:40, 29 בינואר 2014 ==משפט קנטור על רציפות במ"ש==
===המשפט===
תהי <math>f:K \to \mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>K \subseteq \mathbb{R}^n</math> קבוצה קומפקטית ו-<math>f</math> רציפה ב- <math>K</math>, אזי f רציפה במ"ש ב-K.
===הוכחה===
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
<math>\exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \exists x',x'' : ||x'-x''||<\delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon</math>.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: <math>\delta_k=\frac1k</math>, ולכל <math>\delta_k</math> נסמן את <math>x',x''</math> בהתאם: <math>x'_k,x''_k</math>.
לכן לכל k מתקיים: <math>||x'_k-x''_k||<\frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon>0</math>
כיוון שכל הנקודות <math>x'_k</math> ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה <math>\left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0</math> שמתכנסת לנקודה <math>x_0</math> שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- <math>x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0</math>. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- <math>x_0</math> נקבל ש- <math>f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) </math> אך אם כך, <math> \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0</math> בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- <math>|||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon</math>. משל