\underlinebegin{הערות:example}נציג דוגאות לפולינום מינימלי.
\begin{enumerate}
$m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$
עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל
$$m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix}
0 &1 & & 0\\
& 0 & \ddots & \\
& & \ddots &1 \\
0 & & & 0
\end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$$
על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש.
\end{enumerate}
\end{example}