נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:
\textbfbegin{משפט:thm}
יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ )כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום(. אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ )המנה( ו-$r\left ( x \right )$ )השארית( שעבורם:
\end{enumerate}
\end{thm}
לא נוכיח את המשפט בקורס זה.
\underlinebegin{הערות:remark}
\begin{enumerate}
\end{enumerate}
\textbfend{דוגמה:remark} \begin{example}
נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו.
\textbfend{דוגמה:example} \begin{example}
נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$.
$\quad\,x^2+2x+4\\
\overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\
\underline{x^3-2x^2}\\
\hphantom\quad\quad\,2x^2\\
\hphantom\quad\quad\,\underline{2x^2+4x}\\
\hphantom\quad\quad\quad\quad\quad4x-2\\
\hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\
\hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6$
\end{example}