נוספו 1,951 בתים,
09:27, 11 בדצמבר 2018 חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
== אקסופנט==
ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה <math>f(x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)</math> גזירה ומקיימת <math>f'(z)=f(z)</math>, וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: <math>e^z=e^x(\cos y+i\sin y)</math>.
לדוגמא, נחשב <math>e^{1+\frac{\pi}{4}i}</math>:
<math>e^{1+\frac{\pi}{4}i}=e^1(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4})=e(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math>.
====תרגיל====
כידוע, בממשיים מתקיים <math>e^x>0</math>. מה לגבי המרוכבים? האם קיים <math>z\in \mathbb{C}</math> כך ש <math>e^z</math> הוא ממשי וקטן מאפס?
=====פתרון=====
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש <math>x,y\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>e^x(\cos y+i\sin y)=-e</math>.
ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש <math>\sin y=0</math>, ולכן <math>y=0+\pi k</math>. כעת נקבל <math>\cos y\in \{-,0,1\}</math>, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה <math>\cos y=-1</math>, ולכן ניקח <math>y=\pi</math>.
מה שקיבלנו עד כה זה <math>e^{x+\pi i}=-e^x</math>, ולכן אם ניקח <math>x=\ln e=1</math> נקבל <math>e^{1+\pi i}=-e</math> כדרוש.
באופן כללי: יהי <math>t<0</math> ממשי. נבחר <math>z=\ln |t|+\pi i</math> ונקבל <math>e^z=-e^{\ln |t|}=-|t|=t</math>.
====תרגיל====
הוכיחו שמתקיים: <math>e^{\overline{z}}=\overline{e^z}</math>
=====פתרון=====
לפי הגדרה: <math>e^{\overline{z}}=e^{x-yi}=e^x(\cos(-y)+i\sin(-y))=e^x(\cos y-i\sin y)=\overline{e^x(\cos y+i\sin y)}=\overline{e^z}</math>.