נוספו 2,637 בתים,
15:22, 7 בינואר 2019 חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הומוגנית עם מקדמים קבועים==
המד"ר היא מהצורה <math>y''+ay'+by=0</math>, ויש לה משוואה אופיינית: <math>t^2+at+b=0</math>. פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:
1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>.
2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=a+bi,\overline{z}=a-bi</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{ax}\cos(bx)+c_2e^{ax}\sin(bx)</math>.
3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>.
===תרגילים===
נפתור את המד"ר הבאות:
1. <math>y''-3y'-4y=0</math>
2. <math>y''+2y'+4y=0</math>
3. <math>y''-6y'+4y=0</math>
4. <math>y''-6y'+9=0</math>
====פתרון====
1. המשוואה האופיינית היא <math>t^2-3t-4=0</math> שזה בעצם <math>(t-4)(t+1)=0</math>, ונקבל <math>t_1=4,t_2=-1</math> ולכן פתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{4x}+c_2e^{-x}</math>.
2. המשוואה האופיינית היא <math>t^2+2t+4=0</math>, נוסחת השורשים: <math>t_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 4}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}i}{2}=-1\pm \sqrt{3}i</math>. ונקבל שהפתרון הוא: <math>y=c_1e^{-x}\cos \sqrt{3}x+c_2e^{-x}\sin \sqrt{3}x</math>.
3. המשוואה האופיינית היא <math>t^2-6t+4=0</math>. נוסחת השורשים: <math>t_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 4}}{2}</math> וכו'.
4. המשוואה האופיינית היא <math>(t-3)^2=0</math>, ולכן הפתרון הוא: <math>y=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}</math>.
==לא הומוגנית עם מקדמים קבועים==
מד"ר מהצורה <math>y''+ay'+by=f(x)</math> פותרים בצורה הבאה: ראשית פותרים את המד"ר כהומוגנית. שנית, מנחשים פתרון פרטי כפי שנלמד במקרים מסויימים, ואז הסכום שלהם הוא פתרון כללי למד"ר. להלן המקרים המסויימים:
===מקרה הפולינום===
אם <math>f(x)</math> פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי, ואז נפתור שלוש משוואות בשלוש נעלמים.