שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה 0
פתור .
פתרון
נשתמש בשיטת ההצבה:
נציב | ||||||
אינטגרציה בחלקים: | ||||||
אינטגרלים של פונקציות רציונליות
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה כאשר פולינומים. למשל, האינטגרלים ו-. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-, בעוד שהשני כן פריק.
דוגמה 1
נפתור .
פתרון
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל- (כי ). ואכן, אם אז . נשנה את המונה כך שיהיה :
כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל- (): | ||||||
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו .
דוגמה 2
נחשב .
פתרון
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים . לכן האינטגרל הוא .
דוגמה 3
נמצא .
פתרון
ולכןדוגמה 4
נחשב .
פתרון
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-. ברור כי עבור יש שורש , בעוד של- אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא . נקבל ולכןכלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
דוגמה 5
פתרון
נחלק: