אנחנו מתחילים פרק חדש בחומר שלנו, שבו ננסה להגדיר גיאומטריה במרחבים וקטוריים. הכוונה ב"גיאומטריה" היא שנגדיר אורך וזווית של וקטורים. לצורך כך, נגביל את השדה שאנו עובדים מעליו, $\mathbb{F}$, ל-$\mathbb{R}$ או ל-$\mathbb{C}$. לא נציין זאת בכל פעם, אך נניח הנחה זו מעתה ועד סוף הקורס.
\begin{definition}
יהי $V$ מרחב וקטורי מעל $\mathbb{F}$. \textbf{מכפלה פנימית} היא העתקה $\left \langle \; ,\; \right \rangle:V\times V\rightarrow \mathbb{F}$, המוגדרת על ידי $\left(v,w \right ) \mapsto \left\langle v,w\right\rangle$, והמקיימת את האקסיומות הבאות:
\begin{enumerate}
\item \underline{לינאריות ברכיב הראשון} - לכל $v_1,v_2,w\in V$ ולכל $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$, $$\left\langle \alpha v_1+\beta v_2,w \right\rangle=\alpha\left\langle v_1,w\right\rangle+\beta\left \langle v_2,w \right \rangle$$
\item \underline{הרמיטיות} - לכל $v,w\in V$, $\left \langle v,w \right \rangle=\overline{\left \langle w,v \right \rangle}$.
\item \underline{אי-שליליות} - בחלק זה יש שתי דרישות:
\begin{enumerate}
\item לכל $v\in V$, $\left \langle v,v \right \rangle\in\mathbb{R}_{\ge0}$.
\item $v=0\Leftrightarrow\left \langle v,v \right \rangle=0$ . \end{enumerate} \end{enumerate}
\end{definition}