נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:
\begin{thm}
יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ (כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום). אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ (המנה) ו-$r\left ( x \right )$ (השארית) שעבורם:
\begin{enumerate}
\item $f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right )$.
\item $r\left ( x \right )=0$ או $\deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right )$.
\end{enumerate}
\end{thm}
לא נוכיח את המשפט בקורס זה.
\begin{remark}
נעיר מספר הערות על המשפט.
\begin{enumerate}
\item בתנאי השני, הסיבה למקרה v $r\left ( x \right )=0$ היא ש-$\deg\left(0\right)$ אינו מוגדר.
\item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אז החלוקה הינה $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$.
\item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים (ולא רק של קבוצות הערכים שלהם). בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו. זה נכון, מפני שמתקיים $$0^2=0,\quad 1^2=1$$
\end{example}
\begin{example}
נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$. כאן אין הבדל אם השדה יהיה $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ או $\mathbb{C}$, אך בדוגמאות אחרות ייתכן שיהיה הבדל בין החלוקות (לפי המקדמים של הפולינומים - למשל, אם יש מקדם אי רציונלי, אי אפשר לעבוד מעל הרציונליים).
$\quad\quad\quad x^2+2x+4\\ \overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \hphantom\quad\quad\,2x^2\\ \hphantom\quad\quad\,\underline{2x^2+4x}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad4x-2\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\$
לסיכום, מתקיים $x^3-2=\left(x^2+2x+4\right)\left(x-2\right)+6$.
\end{example}