קוד:תכונות של ההעתקה הצמודה

מתוך Math-Wiki

מהמשפט הנ"ל, נוכל להיעזר בידע שלנו על מטריצות ולחשב העתקות צמודות של סכום, כפל בסקלר, הכפלה וכו'. ניתן לחשב זאת גם ישירות, אך נוח יותר להיעזר במטריצות.

\begin{corollary}

יהיו $T,T':V\rightarrow W$ ו-$S:W\rightarrow U$ העתקות לינאריות. אזי:

\begin{enumerate}

\item הרכבה: $\left ( S\circ T \right )^*=T^*\circ S^*$.

\item העתקה צמודה של העתקה צמודה: $\left(T^* \right )^*=T$.

\item חיבור וכפל בסקלר:

\begin{enumerate}

\item חיבור: $\left(T+T' \right )^*=T^*+\left(T' \right )^*$.

\item כפל בסקלר: $\left(\alpha T \right )^*=\overline{\alpha}T^*$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{proof}

נבחר בסיסים אורתונורמליים בכל המרחבים ונשתמש במטריצות המייצגות של ההעתקות יחסית לבסיסים האלו. נשתמש במשפט הקודם.

\begin{enumerate}

\item תהיינה $A,A'$ המטריצות המייצגות של $T,S$ בהתאמה; $\left(AA' \right )^*=\left(A' \right )^*A^*$.

\item $\left(A^* \right )^*=A$.

\item

\begin{enumerate}

\item $\left(A+A' \right )^*=A^*+\left(A' \right )^*$.

\item כפל בסקלר: $\left(\alpha A \right )^*=\overline{\left(\alpha A \right )}^t=\overline{\alpha}\overline{A}^t=\overline{\alpha}A^*$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{proof}