משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה 0
פתור .
פתרון
נשתמש בשיטת ההצבה (כי אנו יודעים לפתור את האינטגרל ).
נציב ולכן: | ||||||
אינטגרציה בחלקים: | ||||||
אינטגרלים של פונקציות רציונליות
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה כאשר פולינומים. למשל, האינטגרלים ו-. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-, בעוד שהשני כן פריק.
דוגמה 1
נפתור .
נפתור
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל- (כי . ואכן, אם אז . נשנה את המונה כך שיהיה :
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} |
c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל- (): | ||||||
לפי הנוסחה |
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו .
דוגמה 2
נחשב .
פתרון
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים . לכן האינטגרל הוא .
דוגמה 3
נמצא .
פתרון
ולכן נחשב .
דוגמה 4
נחשב .
פתרון
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-. ברור כי עבור השורש הוא 0, בעוד של- אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B עבורם האינטגרל הוא . נקבל ולכן האינטגרל הוא .
כלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
דוגמה 5
פתרון
נחלק:
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}\overset{x}{\overline{x^4&-x^3&-x&-1}|x^3-x^2}\\\underline{x^4&-x^3}\\&&-x&-1\end{align}
ולכן יש לפתור את האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c