דוגמה נוספת ל-[math]\displaystyle{ \int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx }[/math]: [math]\displaystyle{ \int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx }[/math]

יש הצבה אוניברסלית: מציבים [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \cos(x)=\frac{t^2-1}{t^2+1} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \sin(x)=\frac{2t}{t^2+1} }[/math]. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).

דוגמאות=

[math]\displaystyle{ \int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx }[/math]: נציב t כנ"ל ונקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt }[/math] ומכאן פותרים בשברים חלקיים. גישה יותר חכמה: מתקיים [math]\displaystyle{ R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x)) }[/math] ולכן נגדיר [math]\displaystyle{ t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2} }[/math]. האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \int\frac{t\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2} }[/math]. פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
[math]\displaystyle{ \int\sec(x)\mathrm dx }[/math] ועם [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] זה שווה ל-[math]\displaystyle{ \int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int\left(\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\right)\mathrm dt=-\ln|1-t|+\ln|1+t|+c=\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right| }[/math]. גישה אחרת: [math]\displaystyle{ \int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math] והאינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c }[/math]. דרך המלך: [math]\displaystyle{ \int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\sec^3(x)\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ t=\tan(x/2) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2} }[/math] וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת: [math]\displaystyle{ \int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx }[/math] ונציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2} }[/math] וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך: [math]\displaystyle{ \int\sec^3(x)\mathrm dx=\int\sec(x)(1+\tan^2(x))\mathrm dx=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math] ושוב הגענו ל-[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2} }[/math]. ניסיון אחרון: [math]\displaystyle{ \int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx }[/math]. [math]\displaystyle{ 2\int\sec^3(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c }[/math].

אינטגרלים עם שורשים

לאינטגרל מהסוג [math]\displaystyle{ \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx }[/math]. תועיל הצבה: [math]\displaystyle{ \frac{ax+b}{cx+d}=t^m }[/math]

=דוגמאות

[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})} }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=t^10 }[/math] אזי נקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)} }[/math] ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת: [math]\displaystyle{ (1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 1-t+t^2-t^3+t^4 }[/math] טור הנדסי). לפי זה נקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots }[/math].

[math]\displaystyle{ \int\frac[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x }[/math] נציב [math]\displaystyle{ t^3=\frac{1-x}{1+x} }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x=\frac{1-t^3}{1+t^3} }[/math] וכך [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2}{(1+t^3)^2}\mathrm dt= }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \int\frac{t(-6t^2)}{(1+t^3)(1-t^3)}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2\cdot t\mathrm dt}{1-t^6} }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=t^2 }[/math] והאינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}=\dots }[/math].

לאינטגרלים מהסוג [math]\displaystyle{ \int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a,b\int\mathbb R\ \and\ m,n,p\int\mathbb Q }[/math]: אם [math]\displaystyle{ p\in\mathbb Z }[/math] אז תועיל הצבה [math]\displaystyle{ x=t^q }[/math] עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:

[math]\displaystyle{ \int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=t^6 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int t^3(1+t^2)^4 6t^5\mathrm dt }[/math], שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).

אם [math]\displaystyle{ \frac{m+1}n\in\mathbb Z }[/math] אז תועיל הצבה [math]\displaystyle{ b+ax^n=t^q }[/math] עבור q המכנה של p. לדוגמה: [math]\displaystyle{ \int x^5(1+x^3)^\frac23\mathrm dx }[/math] ולכן נציב [math]\displaystyle{ 1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \int t^2(3t^2\frac{t^3-1}3)\mathrm dt=\int(t^7-t^4)\mathrm dt=\dots }[/math].

דוגמאות נוספות

[math]\displaystyle{ \int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt=2t-\frac{\sin(4t)}2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל [math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\mathrm d\theta=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm dt }[/math]. תשובה סופית: [math]\displaystyle{ \frac{a^2}2\frac xa\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=a\sec(\theta) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta }[/math].

בחזרה לאינטגרל המסויים

כזכור, אם f רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b }[/math].

אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים

כזכור מתחילים עם הזהות [math]\displaystyle{ (fg)'=f'g+fg' }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b }[/math]. נעביר אגף לקבל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g }[/math]. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
להשתמש בנוסחה זו.

דוגמאות

[math]\displaystyle{ \int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ [x\sin(x)-\int\sin(x)\mathrm dx]_{x=0}^\pi=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi=-2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx=[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx=\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx=[\frac{13}{18}\frac{x^19}{19}\dots]+\int\dots=\dots=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot\dots1}{18\cdot19\cdot20\cdot\dots\cdot30}\int\limits_0^1\dots }[/math]

גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:

בהצבה מתחילים כלל השרשרת [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(\phi(x))=F'(\phi(x))\phi'(x) }[/math] אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל-[math]\displaystyle{ f(\phi(x))\phi'(x) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm dx=[F(\phi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\mathrm dt }[/math]

פורמלית: באינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b (f\circle \phi)\cdot\phi' }[/math] מציבים [math]\displaystyle{ t=\phi(x) }[/math]