משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
גרסה מ־18:19, 17 במרץ 2011 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה= ==דוגמאות== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>. ...")
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
-
: נציב
ולכן
דרך אחרת:, נציב
ולכן
: נגדיר
ולכן
-
: נגדיר
ואז
-
: נציב
לקבל
-
:
. לפיכך
-
:
ומכאן נובע
-
: אם
אז
נציבואז
- נתון
קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-
לכל
. ברור כי
. כעת
. לפיכך
לכן.
למשל, עבור
נחשב
:
וכן
. לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי כאשר
פולינומים. כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית
כך ש-
ניתנת לפירוק כסכום של שברים חלקיים:
, כאשר
קבועים ולמכנה
אין שורשים ממשיים (כלומר
).
האינטגרציה של השבר הראשון קלה:
. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
-
-
- נציב
ואז
:
נציבונסמן
:
כאשרהוא בדיוק אותו
שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש
) נחשב ע"י הצבת
, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.
![p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]](/images/math/9/2/3/9232048210562f7110c61b9bfb69e2fa.png)
![p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)](/images/math/b/2/6/b26c62ccc925d7b8050ed7dce53a703e.png)
![\forall i:\ x_i\in\mathbb C](/images/math/d/1/5/d15dfba732d2bbd85100da38c54e5ea1.png)
![x_i](/images/math/0/5/e/05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png)
![\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}](/images/math/6/1/a/61a1f23c5b1a056a2e1341e70fad4927.png)
כעת, בהינתן האינטגרל כאשר
נפרק את
ל-
ו-
כנ"ל, נמצא
כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
-
. A ו-B מקיימים
ונקבל -
: האינטגרנד שווה ל-
. נמצא את A,B,C,D: מתקיים
.
נציבואז
.
נציב:
.
נציבונקבל
.
לבסוף נציבואז
.
לפיכך