שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמה 0

פתור [math]\displaystyle{ \int e^\sqrt x\mathrm dx }[/math].

פתרון

נשתמש בשיטת ההצבה:

נציב [math]\displaystyle{ \begin{align}&y=\sqrt x\\\implies&x=y^2\\\implies&\mathrm dx=2y\mathrm dy\end{align} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \int 2ye^y\mathrm dy }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ \int e^\sqrt x\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
אינטגרציה בחלקים:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ y e^y-e^y+c }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt x e^\sqrt x-e^\sqrt x+c }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

אינטגרלים של פונקציות רציונליות

נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ p,q }[/math] פולינומים. למשל, האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2+1} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2-1} }[/math]. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], בעוד שהשני כן פריק.

דוגמה 1

נפתור [math]\displaystyle{ \int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx }[/math].

פתרון

באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-[math]\displaystyle{ \ln }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c }[/math]). ואכן, אם [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-4x+8 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f'(x)=2x-4 }[/math]. נשנה את המונה כך שיהיה [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]:

	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ \int }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4x+8} }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-[math]\displaystyle{ \arctan }[/math] ([math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2+1} }[/math]):	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+2\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו [math]\displaystyle{ \frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b} }[/math].

דוגמה 2

נחשב [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2-4} }[/math].

פתרון

קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-[math]\displaystyle{ (x-2)(x+2) }[/math]. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים [math]\displaystyle{ A=\frac14,\ B=-\frac14 }[/math]. לכן האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \frac14\int\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\mathrm dx=\frac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+c }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

נמצא [math]\displaystyle{ \int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ x^3-2x^2=x^2(x-2) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx\\&=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}\\&=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 4

נחשב [math]\displaystyle{ \int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx }[/math].

פתרון

אפשר לראות שהמכנה שווה ל-[math]\displaystyle{ x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1) }[/math]. ברור כי עבור [math]\displaystyle{ 3x-1 }[/math] יש שורש [math]\displaystyle{ \frac13 }[/math], בעוד של-[math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא [math]\displaystyle{ \frac A{3x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35 }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\&=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

כלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.

דוגמה 5

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}\mathrm dx }[/math]

פתרון

נחלק:

[math]\displaystyle{ \begin{align}&x\\&\overline{x^4-x^3-x-1\ |}\ x^3-x^2=x(x^3-x^2)-\frac{x+1}{x^3-x^2}\\-\\&\underline{x^4-x^3}\\&\ \ \ \ 0\ \ \ \ -x-1\end{align} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx\\&=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx\\&=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}\\&=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]