שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמאות נוספות

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2(x-4)}\mathrm dx }[/math]: נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-[math]\displaystyle{ \frac A{x-4}+\frac B{x-3}+\frac C{(x-3)^2} }[/math]. נשווה מונים: [math]\displaystyle{ x^2-7x+10=A(x-3)^2+B(x-4)(x-3)+C(x-4) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A=-2,\ B=3,\ C=2 }[/math]. לבסוף נקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\left(\frac{-2}{x-4}+\frac3{x-3}+\frac2{(x-3)^2}\right)\mathrm dx\\&=-2\ln|x-4|+3\ln|x-3|+\frac2{x-3}+c\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\frac{2x^4+40x+26}{(x-1)(x^2-2x+5)}\mathrm dx }[/math]: נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים:
[math]\displaystyle{ \begin{align}&2x+6\\&\overline{2x^4+40x+26\ |}\ x^3-3x^2+7x-5\\-\\&\underline{2x^4-6x^3+14x^2-10x}\\&\ \ 0\ \ \ \ \ 6x^3-14x^2+50x+26\\-\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{6x^3-18x^2+42x-30}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 4x^2+\ \,8x+56\end{align} }[/math]
ז"א
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\left(2x+6+\frac{4x^2+8x+56}{(x-1)(x^2-2x+5)}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+\int\left(\frac{17}{x-1}+\frac{-13x+29}{(x-1)^2+4}\right)\mathrm dx\\&=x^2+6x+17\ln|x-1|-\frac{13}2\ln|(x-1)^2+4|+8\arctan\left(\frac{x-1}2\right)+c\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\frac{2x^3-x+1}{\left(x^4-1\right)^3\left(x^2-3x+2\right)^2x^4}\mathrm dx }[/math]: נפרק את המכנה ונקבל [math]\displaystyle{ (x-1)^5(x+1)^3\left(x^2+1\right)^3(x-2)^2x^4 }[/math]. לכן האינטגרנד הוא
[math]\displaystyle{ \begin{align}&\frac A{x-1}+\frac B{(x-1)^2}+\frac C{(x-1)^3}+\frac D{(x-1)^4}+\frac E{(x-1)^5}\\+&\frac F{x+1}+\frac G{(x+1)^2}+\frac H{(x+1)^3}\\+&\frac{Ix+J}{x^2+1}+\frac{Kx+L}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{Mx+N}{\left(x^2+1\right)^3}\\+&\frac O{x-2}+\frac P{(x-2)^2}\\+&\frac Qx+\frac R{x^2}+\frac S{x^3}+\frac T{x^4}\end{align} }[/math]
עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos

נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את [math]\displaystyle{ \int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx }[/math]. למשל, אם [math]\displaystyle{ R(x,y)=\frac{3x^3-2xy^5+7}{xy^3-x^2y^3} }[/math] אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-[math]\displaystyle{ R(\cos(x),\sin(x))=\frac{3\cos^3(x)-2\cos(x)\sin^5(x)+7}{\cos(x)\sin^3(x)-\cos^2(x)\sin^3(x)} }[/math].

דוגמאות פרטית

[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\left(\sin^2(x)\cos^3(x)-\sin(x)\cos^5(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)\cos^4(x)\right)\cos(x)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\left(1-\sin^2(x)\right)-\sin(x)\left(1-\sin^2(x)\right)^2\right)\cos(x)\mathrm dx\end{align} }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx }[/math] ואז
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\left(y^2\left(1-y^2\right)-y\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\int\left(y^2-y^4-\frac{2y}2\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\frac{y^3}3-\frac{y^5}5+\frac12\frac{\left(1-y^2\right)^3}3+c\\&=\frac{\sin^3(x)}3-\frac{\sin^5(x)}5+\frac{\cos^6(x)}6+c\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(x)\sin^3(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\sin^2(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\sin(x)\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)}{2\cos(x)+\left(1-\cos^2(x)\right)+3}\sin(x)\mathrm dx\end{align} }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ y=\cos(x)\implies\mathrm dy=-\sin(x)\mathrm dx }[/math]. לכן:
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\frac{3y\left(1-y^2\right)}{2y+4-y^2}(-\mathrm dy)\\&=-\int\frac{3y^3-3y}{y^2-2y-4}\\&=\int\left(3y+6+\frac{21y+24}{y^2-2y-4}\right)\mathrm dy\\&=\frac32y^2+6y+\int\frac{A\mathrm dy}{y-\frac{2+\sqrt{4+16}}2}+\int\frac{B\mathrm dy}{y-\frac{2-\sqrt{4+16}}2}+c\\&=\frac32y^2+6y+\frac{21+9\sqrt5}2\ln\left|y-1-\sqrt5\right|+\frac{21-9\sqrt5}2\ln\left|y-1+\sqrt5\right|+c\\&=\dots\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

כללים: באינטגרל [math]\displaystyle{ \int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx }[/math]:

אם [math]\displaystyle{ R(-\cos(x),\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x)) }[/math] אז תועיל ההצבה [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ R(\cos(x),-\sin(x))=-R(\cos(x),\sin(x)) }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=\cos(x) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x)) }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=\tan(x) }[/math].
בכל מקרה תועיל ההצבה [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math], שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של [math]\displaystyle{ t }[/math], והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:

[math]\displaystyle{ x=2\arctan(t) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac2{1+t^2}\mathrm dt }[/math].
[math]\displaystyle{ 1+t^2=1+\tan^2\left(\frac x2\right)=\sec^2\left(\frac x2\right) }[/math], לפיכך [math]\displaystyle{ \frac{1+\cos(x)}2=\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac1{1+t^2} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \cos(x)=\frac2{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2} }[/math].
[math]\displaystyle{ \sin(x)=2\sin\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac x2\right)=2t\cdot\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac{2t}{1+t^2} }[/math].

דוגמה

חשב [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)} }[/math].

פתרון

נציב [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]