משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11
תוכן עניינים
משפט 7
תהי F מוגדרת בקטע אז קיים ממש אם"ם F מקיימת את תנאי קושי ב-.
=הוכחה
אם ידוע ש- קל לקיים את תנאי קושי וכבר עשינו זאת. לצד השני נניח שתנאי קושי מתקיים עבור F. תחילה נראה ש-F חסומה ב-. מתנאי קושי נובע שקיים כך שלכל , . מכאן שלכל . לכן F חסומה בקטע . כעת נתבונן בסדרת הערכים . זאת סדרה חסומה. עפ"י בולצאנו וירשטרס קיימת לה תת סדרה מתכנסת כאשר קיים ונקרא לו L. טענה: קיים ושווה ל-L. הוכחה: יהי נתון. כיוון ש- קיים כך שלכל , . כמו כן, עפ"י תנאי קושי קיים כך שאם אז . נגדיר . צ"ל: לכל , , מה שגורר . ובכן אם נוכל לבחור כך ש- (כי ). כעת לפי הבניה שלנו . נובע ש-.
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \in\limits_a^\infty f
מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל קיים כך שאם אז .
הוכחה
לכל נגדיר . לפי ההגדרה מתכנס אם"ם מתכנס...
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נאמר ש- מתכנס בהחלט אם מתכנס. אם האינטגרל מתכנס לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
משפט 8
תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב-. אם אז מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט ב- אז f אינטגרבילית שם.
הוכחה
לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש- מתכנס אז הוא מקיים את תנאי קושי וקיים כך שאם אז . נובע מיד ש-. קיימנו את תנאי קושי ל- ולכן הוא מתכנס. גישה אחרת: נגדיר וכן . לכן לא שליליות. בודקים שלכל x וכן . (גאומטרית: השטח שמעל ציר ה-x ו- השטח שמתחת) כעת אם נתון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty|f|
מתכנס. מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש- ...
עכשיו נובע ממשפט 1 ש-...
דוגמאות
- ...
- נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב- כך ש- מתכנס אעפ"י ש-, ולהיפך: מתכנס ואילו מתבדר. ובכן אם אז ואין גבול. לכל האינטגרל מתבדר. לעומת זאת, , שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר f ע"י גרף (יטופל בהמשך) moveTo(1/2,0);lineTo(1,1);lineTo(3/2,0);lineTo(7/4,0);lineTo(2,1);lineTo(9/4,0);lineTo(25/8,0);...
משפט 9 (מבחן דיריכלה)
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים חסומים כאשר . ז"א קיים כך שלכל . עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- ו- אזי מתכנס.
הוכחה
לכל נגדיר . כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש- לכל . יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים שלכל . כעת . נראה שלכל אחד מהביטויים הנ"ל יש גבול כאשר . ובכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a]^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0 . נותר להוכיח שקיים . ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty F\cdot g'
מתכנס עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן לכל או לכל . כמקרה ראשון נניח ש-. יוצא שלכל מתקיים ושהאינטגרל של הוא כי נתון ש- בסיכון הראנו ש- מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס ולכן מתכנס . לכן קיים וסיימנו את ההוכחה.
דוגמה: לכל . הוכחה: נגדיר . אז ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים: . יתר על כן פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \alphax לא מוכרת): -\alphax^{-\alpha-1}
בקטע מתקיים
ז"א אבל לכל כי ולכן ואילו ולא מושפע ע"י הערך המוחלט. עפ"י מבחן ההשוואה מספיק להוכיח ש- מתבדר. אמנם ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin^2(x)}x\mathrm dx=\int\limit_1^\infty\frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm dx
שמתכנס עפ"י דיריכלה באותו נימוק כמו זה שהבאנו לאינטגרל וכידוע מתבדר ל-.
נוכיח בדרך השלילה שהאינטגרל שלנו מתבדר. ובכן אם הוא מתכנס אז משפט אחד אומר ש- הוא סכום של אינטגרלים מתכנסים ולכן מתכנס. אבל סכום זה הוא שמתבדר. הסתירה מוכיחה את הטענה.
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום ונגדיר סכומים חלקיים אז . אם כן . ז"א - סכימה בחלקים.
משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)
נתון . נניח שלטור יש סכומים חלקיים חסומים עוד נניח ש- סדרה מונוטונית כך ש-. אז מתכנס.