משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11
תוכן עניינים
משפט 7
תהי F מוגדרת בקטע אז
קיים ממש אם"ם F מקיימת את תנאי קושי ב-
.
=הוכחה
אם ידוע ש- קל לקיים את תנאי קושי וכבר עשינו זאת. לצד השני נניח שתנאי קושי מתקיים עבור F. תחילה נראה ש-F חסומה ב-
. מתנאי קושי נובע שקיים
כך שלכל
,
. מכאן שלכל
. לכן F חסומה בקטע
. כעת נתבונן בסדרת הערכים
. זאת סדרה חסומה. עפ"י בולצאנו וירשטרס קיימת לה תת סדרה מתכנסת
כאשר
קיים ונקרא לו L.
טענה:
קיים ושווה ל-L. הוכחה: יהי
נתון. כיוון ש-
קיים
כך שלכל
,
. כמו כן, עפ"י תנאי קושי קיים
כך שאם
אז
. נגדיר
. צ"ל: לכל
,
, מה שגורר
. ובכן אם
נוכל לבחור
כך ש-
(כי
). כעת לפי הבניה שלנו
. נובע ש-
.
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \in\limits_a^\infty f
מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכלקיים
כך שאם
אז
.
הוכחה
לכל נגדיר
. לפי ההגדרה
מתכנס אם"ם
מתכנס...
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נאמר ש-
מתכנס בהחלט אם
מתכנס. אם האינטגרל מתכנס לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.
משפט 8
תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב-. אם
אז
מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט ב-
אז f אינטגרבילית שם.
הוכחה
לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי
נתון. כיוון ש-
מתכנס אז הוא מקיים את תנאי קושי וקיים
כך שאם
אז
. נובע מיד ש-
. קיימנו את תנאי קושי ל-
ולכן הוא מתכנס.
גישה אחרת: נגדיר
וכן
. לכן
לא שליליות. בודקים שלכל x
וכן
. (גאומטרית:
השטח שמעל ציר ה-x ו-
השטח שמתחת)
כעת אם נתון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty|f|
מתכנס. מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש-...
עכשיו נובע ממשפט 1 ש-...
דוגמאות
- ...
- נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב-
כך ש-
מתכנס אעפ"י ש-
, ולהיפך:
מתכנס ואילו
מתבדר. ובכן אם
אז
ואין גבול. לכל האינטגרל מתבדר. לעומת זאת,
, שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר f ע"י גרף (יטופל בהמשך) moveTo(1/2,0);lineTo(1,1);lineTo(3/2,0);lineTo(7/4,0);lineTo(2,1);lineTo(9/4,0);lineTo(25/8,0);...
משפט 9 (מבחן דיריכלה)
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
. ז"א קיים
כך שלכל
. עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-
ו-
אזי
מתכנס.
הוכחה
לכל נגדיר
. כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש-
לכל
. יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים שלכל
. כעת
. נראה שלכל אחד מהביטויים הנ"ל יש גבול כאשר
. ובכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a]^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0
. נותר להוכיח שקיים
. ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty F\cdot g'
מתכנס עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכןלכל
או
לכל
. כמקרה ראשון נניח ש-
. יוצא שלכל
מתקיים
ושהאינטגרל של
הוא
כי נתון ש-
בסיכון הראנו ש-
מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס
ולכן מתכנס
. לכן קיים
וסיימנו את ההוכחה.
![]()
דוגמה: לכל
. הוכחה: נגדיר
. אז ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים:
. יתר על כן
פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \alphax לא מוכרת): -\alphax^{-\alpha-1}
בקטעמתקיים
![]()
ז"א אבל לכל
כי
ולכן
ואילו
ולא מושפע ע"י הערך המוחלט. עפ"י מבחן ההשוואה מספיק להוכיח ש-
מתבדר. אמנם
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin^2(x)}x\mathrm dx=\int\limit_1^\infty\frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm dx
שמתכנס עפ"י דיריכלה באותו נימוק כמו זה שהבאנו לאינטגרלוכידוע
מתבדר ל-
.
נוכיח בדרך השלילה שהאינטגרל שלנו מתבדר. ובכן אם הוא מתכנס אז משפט אחד אומר ש-
הוא סכום של אינטגרלים מתכנסים ולכן מתכנס. אבל סכום זה הוא
שמתבדר. הסתירה מוכיחה את הטענה.
כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום ונגדיר סכומים חלקיים
אז
. אם כן
. ז"א
- סכימה בחלקים.
משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)
נתון . נניח שלטור
יש סכומים חלקיים חסומים
עוד נניח ש-
סדרה מונוטונית כך ש-
. אז
מתכנס.