שימושי האינטגרל

דוגמה 1

חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה [math]\displaystyle{ y=4x }[/math] והישר [math]\displaystyle{ y=2x-4 }[/math].

פתרון

נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: [math]\displaystyle{ (2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4 }[/math].

דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב-[math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math] ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין [math]\displaystyle{ y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ y=2x-4\implies x=\frac12y+2 }[/math]. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם [math]\displaystyle{ -2,4 }[/math] (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9 }[/math].
דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] בין [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] ל-4 ושני שטחים שווים [math]\displaystyle{ S_2=S_3 }[/math] בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא [math]\displaystyle{ S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9 }[/math]

דוגמה 2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות [math]\displaystyle{ y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1 }[/math].

פתרון

נקודות חיתוך:

[math]\displaystyle{ y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2) }[/math]
ברור כי ל-[math]\displaystyle{ y=e^x,\ y=0 }[/math] אין נקודת חיתוך.

לכן השטח הוא [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e }[/math].

דוגמה 3

מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.

פתרון

נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה [math]\displaystyle{ [0,y] }[/math] החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה