הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

אינטגרל לא אמיתי (המשך)

דוגמאות חישוב

נחשב [math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx }[/math]:
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align} }[/math]
דרך קיצור:
[math]\displaystyle{ \int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx }[/math]: נציב [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] ואז כאשר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ y=1 }[/math] וכאשר [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ y\to\infty }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=... }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
עבור [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] נחשב [math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p} }[/math]: אם [math]\displaystyle{ p=1 }[/math] זה [math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty }[/math], כלומר מתבדר. עבור [math]\displaystyle{ p\ne1 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p\gt 1\\\infty&p\lt 1\end{cases} }[/math], כלומר האינטגרל מתכנס [math]\displaystyle{ p\gt 1\ \iff }[/math]. הערה: עבור [math]\displaystyle{ p\lt 1 }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ \frac1{x^p}\gt \frac1x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math]. לכן מבין הפונקציות [math]\displaystyle{ \frac1{x^p} }[/math], הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] מתבדר היא [math]\displaystyle{ \frac1x }[/math]. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-[math]\displaystyle{ \frac1x }[/math] שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל [math]\displaystyle{ \int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty }[/math]. "קל לבדוק" שעבור [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p} }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ p\gt 1 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] ונניח ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty f=\infty }[/math]. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty }[/math], ועדיין [math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty }[/math]. ובכן נגדיר [math]\displaystyle{ F(x)=\int\limits_1^x f }[/math] אז כמובן ש-[math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math] ולפי הנתון [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=\frac {f(x)}{F(x)} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty }[/math] ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת [math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-[math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty f }[/math] מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty g }[/math] מתכנס.
בנייה: נגדיר [math]\displaystyle{ F(x)=\int\limits_1^x f }[/math] לכן [math]\displaystyle{ F'=f }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f }[/math] קיים ושווה ל-L. אם נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=2F(x)f(x) }[/math] אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר [math]\displaystyle{ F(x)=\int\limits_x^\infty f }[/math] אז [math]\displaystyle{ F'=-f }[/math] וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} F(x)=0 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)} }[/math] חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
נתבונן באינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx }[/math] - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר [math]\displaystyle{ \mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x }[/math]): [math]\displaystyle{ \int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ \forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx }[/math]. טענה: המספרים [math]\displaystyle{ a_k }[/math] מקיימים
- [math]\displaystyle{ (-1)^{k+1}a_k\gt 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |a_1|\gt |a_2|\gt |a_3|\gt \dots }[/math] (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).
הוכחה:
- אם k אי-זוגי אז [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x)}x\ge0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [(k-1)\pi,k\pi] }[/math] ואם k זוגי אז [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x)}x\le0 }[/math] בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי [math]\displaystyle{ |a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx }[/math] כי [math]\displaystyle{ \mbox{sinc}(x) }[/math] בעלת סימן קבוע ב-[math]\displaystyle{ [(k-1)\pi,k\pi] }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ t=x+\pi }[/math] על מנת לקבל [math]\displaystyle{ |a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(t-\pi)|}{t-\pi}\mathrm dx }[/math] ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ \sin(t-\pi)=-\sin(t) }[/math] זה שווה ל-[math]\displaystyle{ |a_k|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(t)|}{t-\pi}\mathrm dt }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ |a_{k+1}|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx }[/math], ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ x-\pi\lt x\implies\forall x\gt \pi:\ \frac{|\sin(x)|}{x-\pi}\gt \frac{|\sin(x)|}x }[/math] הטענה השנייה מתקיימת.
נותר לנו לבדוק ש-[math]\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} |a_k|=0 }[/math]. ואכן [math]\displaystyle{ |a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right|\to\ln|1|=0 }[/math]. לסיכום [math]\displaystyle{ \int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k }[/math] וה-[math]\displaystyle{ a_k }[/math] יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_k }[/math] מתכנס, נאמר ל-L. טענה: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L }[/math]. הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. לפי הנתון קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=1}^n a_k-L\right|\lt \frac\varepsilon2 }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ a_k\to0 }[/math] ולכן קיים [math]\displaystyle{ n_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_k|\lt \frac\varepsilon2 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ R\pi\gt \pi\cdot\max\{n_1,n_0\} }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ \begin{align}\left|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|&=\left|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right|\\&=\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\left|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right|+\left|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right|\\&\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&\lt \varepsilon\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט 1

נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty (f+cg)=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g }[/math].

הוכחה

לפי הגדרה [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט 2

תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math]. אזי האינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_b^\infty f }[/math] מתכנס, ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f }[/math]. ההוכחה פשוטה מדי.

משפט 3

תהי f מוגדרת ועולה בקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ \sup_x f(x)\lt \infty }[/math], ואם כן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x\gt a} f(x) }[/math].
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. עוד נניח ש-[math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] בקטע זה, אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^R f }[/math] חסומים מלעיל.

הוכחות

נניח [math]\displaystyle{ \sup_{x\gt a} f(x)=m\in\mathbb R }[/math]. טענה: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] אזי קיים [math]\displaystyle{ x_0\in[a,\infty) }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ m-\varepsilon\lt f(x_0)\le m\lt m+\varepsilon }[/math] לכן עבור כל [math]\displaystyle{ x\gt x_0 }[/math] מתקיים (מכיוון ש-f עולה) [math]\displaystyle{ m-\varepsilon\lt f(x_0)\le f(x)\le m\lt m+\varepsilon }[/math]. בפרט, לכל [math]\displaystyle{ x\gt x_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-m|\lt \varepsilon }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=m }[/math] ואם [math]\displaystyle{ \sup_{x\gt a} f(x)=\infty }[/math] (לא חסום) אז לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(x_0)\gt n }[/math]. כעת, אם [math]\displaystyle{ x\gt x_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(x_0)\gt n }[/math]. נובע ש-[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty }[/math] ואין גבול במובן הצר. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ R\gt a }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ F(R)=\int\limits_a^R f }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math], [math]\displaystyle{ F(R) }[/math] עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R) }[/math] וראינו בסעיף 1 שהגבול של [math]\displaystyle{ F(R) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ F(R) }[/math] חסומה מלעיל, ז"א אם"ם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^R f }[/math] חסום מלעיל כאשר [math]\displaystyle{ R\to\infty }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה

מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-[math]\displaystyle{ \infty }[/math].