יישומים של אינטגרציה (המשך)

שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] לתתי קטעים [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא [math]\displaystyle{ 2\pi rS }[/math] (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=[math]\displaystyle{ f(x_k) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k }[/math]. לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math] ביטוי זה שואף לאינטגרל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx }[/math] והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] בין a ל-b סביב ציר ה-x.
דוגמה
נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)=-\frac x{r^2-x^2} }[/math]. השטח הוא
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align} }[/math]

נשים לב כי שטח עיגול הוא [math]\displaystyle{ \pi r^2 }[/math] והיקפו [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r }[/math] כמו כן נפח כדור הוא [math]\displaystyle{ \frac43\pi r^3 }[/math] ושטחו [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2 }[/math]. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח [math]\displaystyle{ \Delta A }[/math] בערך שווה ל-[math]\displaystyle{ 2\pi r\Delta r }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ \frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r }[/math]. בגבול [math]\displaystyle{ \Delta r\to0 }[/math] זה מדויק: [math]\displaystyle{ \frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r }[/math]. לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא [math]\displaystyle{ 4a }[/math] והשטח - [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: [math]\displaystyle{ 8a }[/math], שטח: [math]\displaystyle{ 4a^2 }[/math] ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים [math]\displaystyle{ \frac ra=\frac{\Delta x}S }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ rS=a\Delta x }[/math] אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח [math]\displaystyle{ 2\pi r S=2\pi a\Delta x }[/math]. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] יווצר שטח באורך [math]\displaystyle{ 2\pi a\Delta x }[/math]. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע [math]\displaystyle{ [-a,a] }[/math] נבנה שטח כולל [math]\displaystyle{ 2\pi a\sum\Delta x=2\pi a(2a)=4\pi a^2 }[/math], כפי שציפינו.
בפיזיקה, כאשר כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה [math]\displaystyle{ W=\vec Fs }[/math].כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] לאורך הקטע [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] בציר הזמן. נעשה חלוקה [math]\displaystyle{ P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math]. בכל תת קטע [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math], [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] תקבל מקסימום [math]\displaystyle{ M_k }[/math] ומינימום [math]\displaystyle{ m_k }[/math] ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] (נקרא לה [math]\displaystyle{ W_k }[/math]) מקיימת [math]\displaystyle{ m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x }[/math]. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא [math]\displaystyle{ W=\sum_{k=1}^n W_k }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k }[/math]. יש כאן [math]\displaystyle{ \underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P) }[/math] וכאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P)\to0 }[/math] זה שואף לגבול אחד [math]\displaystyle{ W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx }[/math].
החוק השני של ניוטון אומר [math]\displaystyle{ F=ma }[/math] ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה [math]\displaystyle{ x=x(t) }[/math] (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא [math]\displaystyle{ v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} }[/math] ותאוצתו [math]\displaystyle{ a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2} }[/math]. לפי ניוטון [math]\displaystyle{ F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} }[/math]. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v }[/math]. לכן העבודה שנעשית ע"י [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] בין a ל-b היא
[math]\displaystyle{ \begin{align}W&=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx\\&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx\\&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align} }[/math]
ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.
הסבר לנוסחה: [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx} }[/math]. כאן מניחים ש-[math]\displaystyle{ x(t)=x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ v(x)=v }[/math]. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת [math]\displaystyle{ v(x(t)) }[/math]. למדנו את כלל השרשרת [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t) }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx} }[/math].

מבוא לאינטגרציה נומרית

נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:

אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx }[/math] בדיוק של [math]\displaystyle{ 10^{-6} }[/math]: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה [math]\displaystyle{ e^t }[/math]: [math]\displaystyle{ e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!} }[/math] לאיזה c בין 0 ל-t. נציב [math]\displaystyle{ t=x^2 }[/math]: [math]\displaystyle{ e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx }[/math]. אנו זקוקים ל-n כך ש-[math]\displaystyle{ \left|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right|=\left|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right|\lt 10^{-6} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ e^0\le e^c\le e^1\lt 3 }[/math] ולכן השארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ 3\left|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right|=\frac3{(2n+3)(n+1)!} }[/math]. אכן, עבור [math]\displaystyle{ n=7 }[/math] זה מספיק קטן. לפי זה
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align} }[/math]
השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי
1. לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] ל-n כלשהו.
2. יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.
3. יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.
קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נקח [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כלשהו ונעשה חלוקה שווה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]: [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math] כאשר לכל k נגדיר [math]\displaystyle{ h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1} }[/math] (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k) }[/math]. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה [math]\displaystyle{ f' }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx }[/math]. בתוך הקטע הקטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] נסתמך על משפט לגראנז' לומר [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k} }[/math] עבור c בין x ל-[math]\displaystyle{ x_k }[/math]. נעביר אגף לומר [math]\displaystyle{ f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k }[/math]. [math]\displaystyle{ f(x_k)h }[/math] היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל [math]\displaystyle{ R_k }[/math] = הטעות. כעת, אם נסמן [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]} |f'(x)| }[/math] נוכל להסיק
[math]\displaystyle{ \begin{align}|R_k|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} |f'(c)|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align} }[/math]

יישומים של אינטגרציה (המשך)

דוגמה

מבוא לאינטגרציה נומרית