משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
תוכן עניינים
שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
דוגמה 1
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
-
פתרון: נשים לב להגדרתלפיה האינטגרל שווה ל-
. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I -
ועבור II -
ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
הערה: אם התחום היה, למשל,היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
-
. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן
. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל.
-
, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן
. זוהי אליפסה שמרכזה ב-
. נסמן
ולפי נוסחה לשטח אליפסה (
) נקבל
. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר
.
האינטגרל הלא מסויים
המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל,
ולכן
דוגמה 1 (שיטת פירוק)
חשב .
פתרון
זה שווה ל-![\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}](/images/math/6/9/2/6921312af62dd0571c1f4677f89457f3.png)
באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת:
.
דוגמה 2
חשב .
פתרון
דרך א: מתקיים![I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}](/images/math/1/f/e/1feb37d78694d921cc4c3b52da9926ea.png)
![\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}](/images/math/5/e/c/5ec998acfd7c618fb2c6733602d43ff7.png)
ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.
שיטת ההצבה:
דוגמה 3
חשב .
פתרון
נציב ולכן
. אזי האינטגרל הוא:
.
אינטגרציה בחלקים: .
דוגמה 4
חשב את האינטגרלים הבאים:
פתרון
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר
מסקנה: לכל פולינום ממעלה. לכן האינטגרל שווה ל-
.
כפול פונקציה g שמקיימת (עבור
כלשהו)
נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון
פתרון
נסמןואז
.
פתרון
מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.ואז
. ולפי אינטגרציה שנייה:
ולכן
.
דוגמה 5
.
פתרון
בשיטת ההצבה, והאינטגרל הנ"ל שווה ל-
.