אינטגרציה (המשך)

עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.

עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

דוגמה 1

חשבו

[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)} }[/math]
פתרון
נרשום את האינטגרל כ-[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)} }[/math]. מתבקשת ההצבה [math]\displaystyle{ y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx }[/math] ולכן נקבל [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)} }[/math] ומכאן קל למצוא את הפתרון. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx }[/math]
פתרון
נגדיר [math]\displaystyle{ y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5+y)\mathrm dy=\mathrm dx }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הצבות טריגונומטריות

כאשר יש פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt{a^2-b^2x^2} }[/math].

דוגמה 2

[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} }[/math]
פתרון
נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2+4} }[/math] חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא [math]\displaystyle{ \tan(y)=\frac x2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)} }[/math]. נקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy\end{align} }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx }[/math]
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה [math]\displaystyle{ \sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy\\&=3\int\csc(y)\mathrm dy-3\int\sin(y)\mathrm dy\\&=\dots\end{align} }[/math]
נותר לפתור [math]\displaystyle{ \int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ t=\cos(y) }[/math]. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32} }[/math]
פתרון
ראשית נציב [math]\displaystyle{ y=x-3\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ \sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2} }[/math] נקבל: [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz }[/math] את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה [math]\displaystyle{ t=\cos(z) }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הצבות מיוחדות

ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב [math]\displaystyle{ x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \sin(x)=\frac{2y}{1+y^2} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2} }[/math].

דוגמה 3

פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:

[math]\displaystyle{ \int\csc(x)\mathrm dx }[/math]
פתרון
[math]\displaystyle{ \int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c }[/math][math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}} }[/math]
פתרון

נציב [math]\displaystyle{ y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy }[/math] לפיכך [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{ax+b} }[/math] ננסה להציב [math]\displaystyle{ y^n=ax+b }[/math].

אם יש ביטוי מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt{c+bx+x^2} }[/math] כאשר הפולינום אי פריק נציב [math]\displaystyle{ (y-x)^2=c+bx+x^2 }[/math]. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו [math]\displaystyle{ \alpha,\ \beta }[/math] נציב [math]\displaystyle{ c+bx+x^2=(\beta-y)^2 }[/math] או [math]\displaystyle{ c+bx+x^2=(\alpha-y)^2 }[/math].

דוגמה 4

נחשב [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}} }[/math]

פתרון

הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו

[math]\displaystyle{ \begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align} }[/math]

ואז [math]\displaystyle{ \int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]