שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמה נוספת ל-[math]\displaystyle{ \int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx }[/math] (לא עלינו): [math]\displaystyle{ \int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx }[/math]

יש הצבה אוניברסלית: מציבים [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \sin(x)=\frac{2t}{t^2+1} }[/math]. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).

דוגמאות

[math]\displaystyle{ \int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx }[/math]: נציב t כנ"ל ונקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}&=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt\end{align} }[/math]
ומכאן פותרים בשברים חלקיים.
גישה יותר חכמה: מתקיים [math]\displaystyle{ R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x)) }[/math] ולכן נגדיר [math]\displaystyle{ t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2} }[/math]. האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \int\frac{8\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2} }[/math]. שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
[math]\displaystyle{ \int\sec(x)\mathrm dx }[/math] ועם [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] נקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-t}+\frac{1/2}{1+t}\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln|1-t|+\frac12\ln|1+t|+c\\&=\frac12\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|+c\end{align} }[/math]
גישה אחרת: [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math] והאינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c }[/math].
דרך המלך: [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c }[/math] כי [math]\displaystyle{ \frac\mathrm d{\mathrm dx}(\sec(x)+\tan(x))=\sec(x)(\sec(x)+\tan(x)) }[/math].
[math]\displaystyle{ \int\sec^3(x)\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ t=\tan\left(\frac x2\right) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{\left(1+t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=2\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1-t^2\right)^3}\mathrm dt }[/math]. ניתן לעשות זאת בשברים חלקיים, אבל זה לא נעים.
דרך אחרת: [math]\displaystyle{ \int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx }[/math] ונציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2} }[/math] וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.
עוד דרך:
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\sec(x)\left(1+\tan^2(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\frac1{\cos(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^3(x)}\right)\mathrm dx\end{align} }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ y=\sin(x) }[/math] ושוב הגענו ל-[math]\displaystyle{ \int\left(\frac1{1-y^2}+\frac{y^2}{\left(1-y^2\right)^2}\right)\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2} }[/math].
ניסיון אחרון:
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\Big(\tan(x)\sec(x)\Big)\tan(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\mathrm dx\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{array}{l l l}\implies&2\displaystyle\int\sec^3(x)\mathrm dx&=\sec(x)\tan(x)+\displaystyle\int\sec(x)\mathrm dx\\&&=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\end{array} }[/math]

אינטגרלים עם שורשים

לאינטגרל מהסוג [math]\displaystyle{ \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm,\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx }[/math] תועיל הצבה [math]\displaystyle{ \frac{ax+b}{cx+d}=t^m }[/math].

דוגמאות

[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}=\int\frac{\mathrm dx}{x\left(x^\frac 5{10}+x^\frac 4{10}\right)} }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=t^{10} }[/math] אזי נקבל [math]\displaystyle{ \int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)} }[/math] ופותרים בשברים חלקיים.
דרך אחרת: [math]\displaystyle{ (1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 1-t+t^2-t^3+t^4 }[/math] טור הנדסי). לפי זה נקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}&=\int\left((1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)-t^5\right)\frac{10\mathrm dt}{(1+t)t^5}\\&=10\int\left(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^{-2}+t^{-1}-(t+1)^{-1}\right)\mathrm dt\\&=\dots\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\sqrt[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x }[/math] נציב [math]\displaystyle{ t^3=\frac{1-x}{1+x} }[/math] ואז [math]\displaystyle{ x=\frac{1-t^3}{1+t^3} }[/math] וכך [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \int=\int t\frac{1+t^3}{1-t^3}\cdot\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^3\mathrm dt}{1-t^6} }[/math] נציב [math]\displaystyle{ y=t^2 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int=\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)} }[/math] ופותרים בשברים חלקיים.

לאינטגרלים מהסוג [math]\displaystyle{ \int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q }[/math]:

אם [math]\displaystyle{ p\in\mathbb Z }[/math] אז תועיל הצבה [math]\displaystyle{ x=t^{1/\gcd(n,m)} }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ \gcd(n,m) }[/math] הוא המספר הגדול ביותר עבורו [math]\displaystyle{ \frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z }[/math]). למשל, עבור [math]\displaystyle{ \int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=t^6 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt }[/math], שהוא אינטגרל של פולינום.
אם [math]\displaystyle{ \frac{m+1}n\in\mathbb Z }[/math] אז תועיל הצבה [math]\displaystyle{ b+ax^n=t^q }[/math] עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל-[math]\displaystyle{ \int x^5\left(1+x^3\right)^\frac23\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ 1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int t^2\left(3t^2\frac{t^3-1}3\right)\mathrm dt=\int\left(t^7-t^4\right)\mathrm dt=\dots }[/math].

דוגמאות נוספות

[math]\displaystyle{ \int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx }[/math] נציב [math]\displaystyle{ x=2\sin(t)\implies\mathrm dx=2\cos(t)\mathrm dt }[/math] ונקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt\\&=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt\\&=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt\\&=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt\\&=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt\\&=2t-\frac{\sin(4t)}2+c\\&=2\arcsin\left(\frac x2\right)-\frac{\sin\left(4\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}2+c\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] קבוע: נציב [math]\displaystyle{ x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta }[/math] ונקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\cdot a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] קבוע: נציב [math]\displaystyle{ x=a\sec(\theta) }[/math] ונקבל
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align} }[/math]

בחזרה לאינטגרל המסויים

כזכור, אם f רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b }[/math].

אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים

כזכור מתחילים עם הזהות [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'g+fg' }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[(fg)(x)]_{x=a}^b }[/math]. נעביר אגף לקבל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b fg=[(fg)(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g }[/math]. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
להשתמש בנוסחה הנ"ל.

דוגמאות

[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx&=[x\sin(x)]_{x=0}^\pi-\int\limits_0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\&=[x\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\pi\\&=-2\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx&=\left[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}\right]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=0+\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=\frac{13}{18}\left[\frac{(1-x)^{12}x^{19}}{19}\right]_{x=0}^1+\frac{13}{18}\int\limits_0^1\frac{x^{19}}{19}12(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=0+\frac{13\cdot12}{18\cdot19}\int\limits_0^1x^{19}(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\frac{13\cdot12\cdot11\cdots1}{18\cdot19\cdot20\cdots30}\int\limits_0^1 x^{30}\\&=\frac{13!17!}{30!}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{x=0}^1\\&=\frac1{31\binom{30}{13}}=\frac1{3\;712\;555\;350}\end{align} }[/math]

גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:

בהצבה מתחילים עם כלל השרשרת [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(\varphi(x))=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x) }[/math] (כאשר F קדומה ל-f). לכן נציב [math]\displaystyle{ t=\varphi(x) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx=[F(\varphi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\mathrm dt }[/math].