צירופים לינאריים, תלות לינארית ומרחבים נפרשים (span)

הגדרת צירוף לינארי

יהי V מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in V }[/math] וקטורים במרחב. צירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] הינו וקטור במרחב [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך שקיימים סקלרים בשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math].

המרחב הנפרש (span)

בתנאי ההגדרה לעיל; המרחב הנפרש על ידי הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] מוגדר להיות קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים הללו. כלומר, [math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_n\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\} }[/math].

שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.

עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם 'מרחב'. הסיבה היא שהspan הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש הוא אכן מרחב, הוא המרחב הקטן ביותר המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש:

תרגיל

יהי V מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש [math]\displaystyle{ spanA\subseteq W }[/math].

הוכחה

אם [math]\displaystyle{ v\in spanA }[/math] אזי קיימים וקטורים וסקלרים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in A }[/math], [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k\in\mathbb{F} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k }[/math]. מתוך הנתון ש[math]\displaystyle{ A\subseteq W }[/math] נובע ש[math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in W }[/math] ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W }[/math] משל.

קל לראות ש[math]\displaystyle{ U+W=span\{U\cup W\} }[/math], וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.

תלות לינארית

דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל כפל בסקלרים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא תלויה לינארית.

הגדרה: וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] נקראים תלויים לינארית אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:

לפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס
מתקיים ש[math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math]

הגדרה: וקטורים נקראים בלתי תלויים לינארית (בת"ל) אם הם אינם תלויים לינארית.

הגדרה: קבוצה A נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]

משפט: וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] בת"ל אם"ם הצירוף הלינארי היחיד שלהם שמתאפס הוא הצירוף הלינארי הטריוויאלי (כלומר, כל הסקלרים אפסים). זה נובע בקלות בעזרת שלילה לוגית.

משפט

[math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים

הוכחה

הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש [math]\displaystyle{ a_1v_1+...+a_nv_n=0 }[/math], ואחד לפחות מבין הסקלרים שווה אפס. נניח ב.ה.כ. (בלי הגבלת הכלליות) ש [math]\displaystyle{ a_1\neq 0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n }[/math]. הכיוון ההפוך עובד גם הוא (נעביר אגף ונקבל צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס שכן המקדם של [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] הינו אחד ולכן שונה מאפס).

שימו לב שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.

ממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות. שכן אם [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: [math]\displaystyle{ span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\} }[/math].

תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות

הוכח:

[math]\displaystyle{ b\in span\{v_1,...,v_n\} }[/math] אם"ם קיים פתרון למערכת [math]\displaystyle{ Ax=b }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A=(v_1 v_2 \cdots v_n) }[/math] הינה המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math]

במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר [math]\displaystyle{ x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b=x_1v_1+...+x_nv_n }[/math]

נניח והוקטורים שייכים למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את b אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?

פתרון

לפי כפל עמודה נכון לאמר ש [math]\displaystyle{ Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n }[/math]. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש [math]\displaystyle{ b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n }[/math]. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך חשוב מאד לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: Ax הינה צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מ-x.

הוכחנו כבר בסעיף קודם.

אם הוקטורים שייכים למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יוצא שהמטריצה הינה ריבועית וידוע שיש במקרה זה פתרון יחיד למערכת אם"ם המטריצה הפיכה. אם נציב b=0 ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגית יש פתרון יחיד אם"ם המטריצה הפיכה. למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד אם"ם הצירוף הלינארי היחיד של הוקטורים שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן המטריצה הפיכה אם"ם העמודות שלה בת"ל. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק שמטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל.