88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7

מרחבי המטריצות

תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. מגדירים שלושה מרחבים עיקריים:

• מרחב השורות של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן [math]\displaystyle{ R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq\mathbb{F}^n }[/math]
• מרחב העמודות של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן [math]\displaystyle{ C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq\mathbb{F}^m }[/math]
• מרחב האפס של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax=0. נסמן [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq\mathbb{F}^n }[/math]

משפט: לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=R(A)\oplus N(A) }[/math]

הגדרה: דרגת המטריצה A שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן rankA

משפט: [math]\displaystyle{ rankA=dimR(A)=dimC(A)=n-dimN(A) }[/math]. אלה שווים למספר המשתנים התלויים, ומימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

דוגמא. מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]

דבר ראשון, נדרג קנונית את המטריצה לקבל

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]

לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (-t-s,t,t,s) }[/math]. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: [math]\displaystyle{ t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1) }[/math]. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:

• אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)
• וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס

לכן הבסיס למרחב האפס הינו [math]\displaystyle{ \{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\} }[/math]

אלגוריתם למציאת שלושת מרחבי המטריצה

1. דרג את המטריצה קנונית
2. השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורה
3. העמודות במטריצה המקורית המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
4. הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים
5. מצא את הפתרון הכללי
6. פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים
7. הוקטורים הקבועים מהווים בסיס למרחב האפס

שימו לב: בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.