טורי חזקות (המשך)

משפט 2

יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S }[/math] במובן הרחב אז [math]\displaystyle{ S=R }[/math].

הוכחה

יהי x כרצוננו ונוכיח שאם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt S }[/math] אז הטור מתכנס בהחלט, ואם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\gt S }[/math] אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-[math]\displaystyle{ b_n=a_n(x-x_0)^n }[/math] ולכן אם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt S }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S\lt 1 }[/math] ואם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\gt S }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S\gt 1 }[/math]. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt S }[/math] (ולכן [math]\displaystyle{ S\le R }[/math]) ואינו מתכנס בהחלט אם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\gt S }[/math] (ולכן [math]\displaystyle{ S\ge R }[/math]). מכאן ש-[math]\displaystyle{ R=S }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמאות

בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}(x-5)^n }[/math]. אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות:
[math]\displaystyle{ \begin{align}R&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^n(n+1)}{n^n}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^n\\&=e\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}(x-5)^{2n} }[/math]. דרך ראשונה: נעשה זאת לפי מבחן המנה: [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+3}/n^3}{2^{n+4}/(n+1)^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^3\cdot\frac12=\frac12 }[/math], אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{2n}|}{|a_{2n+2}|} }[/math] במקום [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} }[/math]. עם זאת, נשים לב שאם נציב [math]\displaystyle{ y=(x-5)^2 }[/math] אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}y^n }[/math]. מכאן שהטור מתכנס כאשר [math]\displaystyle{ |x-5|^2=|y-0|\lt \frac12 }[/math], כלומר כאשר [math]\displaystyle{ |x-5|\lt \sqrt\frac12 }[/math], ולכן הוא [math]\displaystyle{ R=\sqrt\frac12 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math] דרך שנייה: נחשב בעזרת מבחן השורש: [math]\displaystyle{ R=1/\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n} }[/math]. גם כאן יש מכשול כי [math]\displaystyle{ a_{2n}=\frac{2^{n+3}}{n^3} }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ a_{2n+1}=0 }[/math]. לגבי האינדקסים האי-זוגיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{a_{2n+1}}=0 }[/math] ולגבי הזוגיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{a_{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[2n]{2^{n+3}}}{\sqrt[2n]{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac12+\frac3{2n}}}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{3/2}}=\frac{2^\frac12}1=\sqrt2 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt2 }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ R=\frac1\sqrt2=\sqrt\frac12 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!x^n }[/math]. לפי מבחן המנה: [math]\displaystyle{ R=\lim_{n\to\infty}\frac{|n!|}{|(n+1)!|}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math] מכאן שהטור מתכנס רק עבור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].
דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה [math]\displaystyle{ \infty }[/math] פעמים בסביבת [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ N\in\mathbb N }[/math] ניתן לכתוב [math]\displaystyle{ f(x)=P_N(x)+R_N(x) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=P_N(x)=f(x)-R_N(x) }[/math]. אם עבור x מסויים [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}R_N(x)=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{N\to\infty}f(x)-R_N(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n }[/math], וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]". עבור [math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math] הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: [math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} }[/math], שרדיוס ההתכנסות שלו הוא [math]\displaystyle{ \infty }[/math]: [math]\displaystyle{ R=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\infty }[/math].

דוגמאות נוספות

נקח [math]\displaystyle{ f(x)=\sin(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x_0=0 }[/math]. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל [math]\displaystyle{ \sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }[/math], בתנאי ש-[math]\displaystyle{ R_N(x)\to0 }[/math]. נוכיח שזה אכן מתקיים: [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-[math]\displaystyle{ \sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!} }[/math]. עתה יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מסויים וניצור סדרה [math]\displaystyle{ \{a_N\} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!} }[/math]. נותר להוכיח ש-[math]\displaystyle{ a_N\to0 }[/math], ולכן מספיק להוכיח ש-[math]\displaystyle{ \sum_{N=0}^\infty a_N }[/math] מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases} }[/math] ונוכיח ש-f גזירה [math]\displaystyle{ \infty }[/math] פעמים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] וש-[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0 }[/math].
טענה 1: אם [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] פונקציה רציונלית אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0 }[/math]. הוכחה: קיים [math]\displaystyle{ m\in\mathbb N\cup\{0\} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ q(x)=x^m\cdot r(x) }[/math] עבור פולינום r שמקיים [math]\displaystyle{ r(0)\ne0 }[/math]. לפיכך, עבור [math]\displaystyle{ y=\frac1{x^2} }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^m}=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{y\to\infty}\frac{e^{-y}}{\left(1/\sqrt y\right)^m}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{m/2}}{e^y} }[/math], ואחרי הפעלת כלל לופיטל [math]\displaystyle{ \left\lceil\frac m2\right\rceil }[/math] פעמים נקבל 0.
טענה 2: לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R\setminus\{0\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x)=e^{-\frac1{x^2}}g_n(x) }[/math] עבור פונקציה רציונלית [math]\displaystyle{ g_n }[/math] כלשהי כך ש-[math]\displaystyle{ f^{(n)}(0)=0 }[/math]. הוכחה: נוכיח באינדוקציה. עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]: [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}e^{-\frac1{x^2}}=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=g_1(x)e^{-\frac1{x^2}} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}x }[/math], ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]: [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}=e^{-\frac1{x^2}}\left(g_n'(x)+\frac2{x^3}g_n(x)\right) }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}-0}x }[/math], ולפי טענה 1 זה שווה 0. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math] נובע מכך שטור מקלורן של f הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum0 }[/math], שלא שווה ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] לכל x מלבד 0.

משפט 3

יהי טור חזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] בעל רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי:

בקטע [math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math] מוגדרת פונקציה גבולית רציפה [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math].
בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} }[/math]. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.
עבור [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} }[/math], וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R.

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x\in(x_0-R,x_0+R) }[/math] כרצונינו ונבחר r המקיים [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt r\lt R }[/math]. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [x_0-r,x_0+r] }[/math]. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [x_0-r,x_0+r] }[/math] ובפרט בנקודה x. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע [math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math] והטור הגזור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} }[/math], לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן [math]\displaystyle{ \frac1S=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{n|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]n\sqrt[n]{|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ R=S }[/math]. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math] ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

נבחר x מסויים בקטע [math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ r=|x-x_0| }[/math]. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_{x_0}^x a_n(t-x_0)^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} }[/math] ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא נאינטגרל המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]