88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול

ההגדרה המדוייקת של סדרה

בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדוייקת של פונקציה. סדרה הינה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הינה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר השני וכן הלאה.

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ \{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,... }[/math], (כך ש [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R} }[/math]).

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},... }[/math]

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,0,... }[/math] (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

הגדרת הגבול

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math] נקרא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math].

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו ש[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] מודד אורך, מספר טבעי [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

אם לכל אורך ([math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]) [סיר]

קיים מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math]) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] ([math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]) [מתאים לו]