88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות

חזרה לסדרות

תתי סדרות

תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_m }[/math] ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים [math]\displaystyle{ n_k }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ n_1\lt n_2\lt n_3\lt ... }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] הינה תת סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין [math]\displaystyle{ n_i }[/math] לבין [math]\displaystyle{ n_{i+1} }[/math] לכל i).

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ובסדרת המספרים הטבעיים [math]\displaystyle{ n_k=2k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 }[/math] הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,... }[/math] אזי תת סדרה אחת שלה תהא [math]\displaystyle{ a_1,a_3,a_{15},a_{85},... }[/math]

הגדרה. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] השואפת ל-L.

משפט. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]

במילים, קיימים אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט. סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

משפט בולצאנו ויירשטראס. לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המתכנסת לגבול L. אזי כל תת סדרה שלה מתכנסת לגבול L

הוכחה. לפי הגדרת הגבול, לכל אפסילון יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון. כיוון שאיברי תת הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות , גם איבריה קרובים לגבול עד כדי אפסילון החל ממקום מסויים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיוון שאולי זרקנו איברים בדרך.)

תרגיל.

מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n(5-\frac{4}{2^n}) }[/math]

פתרון.

נביט בתת הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים [math]\displaystyle{ a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\rightarrow 5-0=5 }[/math]

באופן דומה סדרת האי זוגיים שואפת למינוס 5. האם חמש ומינוס חמש הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?

נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת סדרה זו אינסוף איברים זוגיים או אינסוף איברים אי זוגיים. נביט בתת הסדרה המורכבת מאינסוף איברים אילו בתוך תת הסדרה. מצד אחד הם שואפים לפלוס או מינוס חמש כי הם מהווים תת סדרה של האיברים הזוגיים או האי זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיוון שהם מהווים תת סדרה של תת הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.

דוגמא.

לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:

[math]\displaystyle{ 1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},... }[/math]

תרגיל.

מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.

פתרון.

נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]. כיוון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.

בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדוייק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.