טורים

באופן בלתי פורמלי, טור הינו סכום אינסופי של מספרים. נשאלת השאלה, האם סכום אינסופי של מספרים חיוביים עשוי להיות קטן ממספר סופי?

נענת התשובה - כן. לדוגמא, ניקח עוגה (או פאי). נחלק חצי מהעוגה לתלמיד המצטיין, חצי ממה שנשאר (רבע) ניתן לתלמיד הבא אחריו. חצי ממה שנשאר (שמינית) ניתן לתלמיד הבא אחריו. אחד חלקי שש עשרה יקבל התלמיד הבא וכן הלאה.

כמובן שלא נוכל לחלק יותר מאשר עוגה אחת ממנה התחלנו. לכן, אינטואיטיבית, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... \leq 1 }[/math]

הגדרה.

נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S^{a_n} }[/math] של סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כלשהי להיות [math]\displaystyle{ S^{a_n}_N = a_1+a_2+...a_N }[/math].

כלומר,

[math]\displaystyle{ S^{a_n}_1=a_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ S^{a_n}_2=a_1+a_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ S^{a_n}_3=a_1+a_2+a_3 }[/math]

וכן הלאה.

הגדרה.

אומרים כי טור הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנס אם סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ S^{a_n} }[/math] מתכנסת. (במובן הגדרת הגבול של סדרות, כמובן)

- במקרה זה אומרים כי סכום הטור שווה לגבול סדרת הסכומים החלקיים

אומרים כי טור הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנס בהחלט אם טור הסדרה [math]\displaystyle{ |a_n| }[/math] מתכנס.

אומרים כי טור מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס, אך אינו מתכנס בהחלט.

מסמנים את טור הסדרה ב [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math]

דוגמא חשובה.

נחשב את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math]