שדות - תכונות בסיסיות

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים

הגדרה: יהיה [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה. הרחבה של [math]\displaystyle{ F }[/math] היא כינוי לכל שדה [math]\displaystyle{ K }[/math] המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math]. לרוב כותבים גם [math]\displaystyle{ L/K }[/math].

אם [math]\displaystyle{ K/F }[/math] היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי [math]\displaystyle{ K }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. המימד של [math]\displaystyle{ K }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] יסומן ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math].

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a\in K }[/math]. האיבר [math]\displaystyle{ a }[/math] נקרא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אם קיים פולינום [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. אם לא קיים פולינום כזה, [math]\displaystyle{ a }[/math] נקרא טרנסצנדנטי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].